ЭСБЕ/Теория вероятностей

Теория вероятностей — есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Приведем пример. Вероятность вынуть туза из полной колоды карт равна $\frac{4}{52}$, или $\frac{1}{13}$, так как всего карт 52 и из них 4 туза; вероятность вынуть короля тоже равна $\frac{1}{13}$. Вероятность вынуть туза или короля будет $\frac{1}{13}+\frac{1}{13}=\frac{2}{13}$. Рассматриваемые события несовместны, так как появление одного из событий исключает появление другого. Вероятность вынуть туза или трефовую карту не равна $\frac{1}{13}+\frac{1}{4}$, так как вынутый туз мог бы оказаться трефовой масти. В этом случае события нельзя назвать несовместными и потому нельзя прилагать высказанной теоремы, вероятность появления событий Е и F равна вероятности Е, умноженной на вероятность F, вычисленную в том предположении, что Е случилось. Например, вероятность вынуть два туза из полной колоды карт равна $\frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51}$, так как после появления туза в колоде останется 51 карта и в том числе 3 туза. Если же вынимать карты последовательно и вынутую карту возвратить в колоду, то вероятность вынуть 2 туза равна ${\left(\frac{4}{52}\right)}^2$. Предположим, что при повторении испытаний вероятность появиться событию Е постоянно остается равною р. В таком случае вероятность того, что при n испытаниях событие Е появится m раз, будет

$\frac{1\cdot 2\cdot 3...n}{1\cdot 2\cdot 3...m\cdot 1\cdot 2\cdot 3...(n-m)}{p}^m(1-p{)}^{n-m}.$

Если n и m очень велики, то Лаплас доказал, что интеграл$\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{e}^{-z^2}dz$есть приближенное выражение вероятности того, что т заключается между$np+t_1\sqrt{2np(1-p)}$ и $np+t_2\sqrt{2np(1-p)}$. Отсюда легко выводится следующая теорема Якова Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что при достаточно большом п численное значение разности (m/n — р) сколь угодно мало. Предположим, что вероятность события Е меняется при каждом испытании и что при n испытаниях эта вероятность принимала значения p₁, p₂,…р_п. Если т обозначает число появлений события Е при п испытаниях, то при достаточно большом п имеет место теорема Пуассона. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что численное значение разности m/n = (p₁+p₂+…+p_n)/n сколь угодно мало.

Если величина х может принимать значения x₁, x₂,…x_п, вероятности которых суть p₁, p₂,…р_п, то число x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n называется математическим ожиданием величины х.

Если а, b, с,…k математические ожидания независимых величин x, y, z,…и, а а₁, b₁, c₁,…k₁ математические ожидания квадратов этих величин, то с вероятностью большей чем 1—1/t² можно утверждать, что x+y+ z+…+u принимает значение, лежащее между

$a+b+c+...+k-t\sqrt{a_1-a^2+b_1-b^2+...+k_1-k^2}$

и

$a+b+c+...+k+t\sqrt{a_1-a^2+b_1-b^2+...+k_1-k^2}$

В этом состоит теорема Чебышева.

В случае большого числа величин х, у, z,…u Лаплас доказал, что интеграл$\frac{2}{\sqrt{pi}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-z^2}dz$есть приближенное выражение вероятности того, что x+y+z+…+u принимает значение, лежащее между

$a+b-c+...+k-t\sqrt{2(a_1-a^2+b_1-b^2+...+k_1-k^2)}$

и

$a+b+c+...+k+t\sqrt{2(a_1-a^2+b^3-b^2+...+k_1-k^2)}$

Предположим, что а, b, с,…k больше некоторого положительного числа А, а каждое из чисел a₁, b₁, с₁…k₁ не превышает числа B. Если n, число величин х, y, z,… u, может быть сколько угодно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что сумма х+у+z+…+u превзойдет любое данное число. На основании этой теоремы определяется выгодность или убыточность предприятия. Если математическое ожидание прибыли от какого-нибудь предприятия число положительное, то такое предприятие выгодное. Хотя и возможны убытки, но с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, прибыль будет сколь угодно велика, если продолжать участие в предприятии.

Литература. В. Я. Буняковский, «Основания математической теории вероятностей» (СПб., 1846); В. П. Ермаков, «Теория вероятностей» (Киев, 1879); П. А Некрасов, «Теория вероятностей» (М., 1896); Н. А. Забудский, «Теория вероятностей и применение ее к стрельбе и пристрелке» (СПб., 1898); М. А. Тихомандрицкий, «Курс теории вероятностей» (Харьков, 1898); А. А. Марков, «Исчисление вероятностей» (СПб. 1900); Laplace, «Théorie analytique des probabilités» (П., 1820); Poisson, «Шаблон:Lang» (П., 1837); Poisson, «Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigsten Anwendungen» (нем. перев. Schnuse, Брауншвейг, 1841); Lacroix, «Шаблон:Lang» (4-е изд. Пар., 1864); Todhunter, «A history of the mathematical theory of probability…» (Кембридж и Лонд., 1865); Laurent, «Шаблон:Lang» (П., 1873); A. Meyer, «Calcul des probabilités» (Льеж, 1874); Liagre, «Calcul des probabilités» (Брюссель, 1879); Hagen, «Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung» (Б., 1882); J. Bertrand, «Calcul des probabilités» (П., 1889); Bobek, «Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung» (Штутгарт, 1891); P. Poincare, «Calcul des probabilités» (П., 1896); Jakob Bernoulli, «Ars conjectandi» (1713; нем. перев., Haussner, Лпц., 1899); Ostwald’s «Klassiker der exacten Wissenschaften» №№ 107 и 108.