ЭСБЕ/Квадратуры

Квадратуры — В интегральном исчислении так называются способы для приближенного вычисления площадей криволинейных фигур по нескольким данным ординатам кривой, или, что то же самое, способы для приближенного вычисления определенного интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ по данным значениям подынтегральной функции для нескольких частных значений х в пределах интеграла. Простейшие формулы К. суть:

1) Способ трапеций.

$\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\frac{\omega }{2}\{f(a)+2f(a+\omega )+2f(a+2\omega )+\dots +2f(b-\omega )+f(b)\},$

Шаблон:Noindentгде $\omega =\frac{b-a}{n},$ а n — целое число. Погрешность этой формулы, или так называемый остаточный член, равен

$-\frac{(b-a{)}^3\cdot f^{″}(\xi )}{12n^2},$ где $a<\xi <b.$

2) Способ Симсона.

$\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=\frac{\omega }{6}\{f(a)+4f(a+\frac{\omega }{2})+2f(a+\omega )+4f(a+\frac{3\omega }{2})+\dots +$$+2f(b-\omega )+4f(b-\frac{\omega }{2})+f(b)\},$

Шаблон:Noindentпричем ω имеет то же значение, а погрешность формулы равна

$-\frac{(b-a{)}^5\cdot f^{\text{IV}}(\xi )}{90\cdot 2^5\cdot n^4},$ где $a<\xi <b.$

Существует множество других формул К., как, напр., формулы Котеса, Гаусса, Эрмита и др. Особенно замечательна формула Чебышева, имеющая следующий простой вид:

$\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=(b-a)\cdot \left\{\frac{f(x_0)+f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n+1}\right\},$

Шаблон:Noindentгде x₀, x₁, … x_n зависят от числа n. Эта формула очень удобна для вычисления приближенного значения площадей криволинейных фигур, когда дан чертеж кривой.