ЭСБЕ/Двучлен

Двучлен (мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже [[../Виет или Вьет, Франсуа|Вьетту]] было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида

Шаблон:Trc (1) ||style="width:100%"| ${(a+b)}^n=a^n+P_1{a}^{n-1}b+P_2{a}^{n-2}{b}^2+\dots +P_{n-1}a{b}^{n-1}+b^n,$

Шаблон:Noindentгде в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n. Кэффициенты же $P_1,P_2,\dots P_n$ — суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Р_k оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. [[../Сочетания|Сочетания]]), или, выражая это формулой

Шаблон:Trc (2) ||style="width:100%"| $P_k=\frac{n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k}.$

Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим [[../Эйлер, Леонгард|Эйлер]], рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных. В этих случаях ${(a+b)}^n$ представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов

$a^n+P_1{a}^{n-1}b+P_2{a}^{n-2}{b}^2+\dots ,$

Шаблон:Noindentпричем $P_k$ вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая $\frac{b}{a}=x,$ мы приходим к рассмотрению выражения ${(1+x)}^n$ или, другими словами, к нахождению суммы ряда

$1+\frac{n}{1}x+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}{x}^3+\dots$

Шаблон:Noindentдля всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика [[../Абель, Нильс Генрих|Абеля]]: «Шаблон:Lang $1+\frac{m}{1}x+\dots$» (см. журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула

$1+nx+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}{x}^2+\dots$

1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение x;

2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при $-1<x<+1;$

3) при $x=+1$ имеет место, когда $m>-1;$

4) при $x=-1$ имеет место, когда $m>0.$

Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:

$\sqrt[3]{5}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{5\cdot 27}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{135}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{125+10}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{1+\frac{2}{25}}=$ $={(1+\frac{2}{25})}^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{25}+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{2^2}{25^2}+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{2^3}{25^3}+\cdots$

Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для $\sqrt[3]{5}$ число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.