ЭСБЕ/Биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты — так называются количества: $1,\frac{n}{1},\frac{n(n-1)}{1\cdot 2},$$\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3},\dots ,\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot m},$ составляющие коэффициенты последовательных членов бинома Ньютона (см. [[../Бином|Бином]]). Их обозначают в настоящее время часто знаком $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}).$ Общий вид Б. коэффициента может быть написан кратко следующим образом: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!},$ где $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$ и т. п. Б. коэффициенты обладают многими интересными свойствами, которые легко получаются как частные случаи свойств членов самого бинома Ньютона. Вот некоторые из этих свойств: ряд Б. коэффициентов имеет один максимум, для $n>1,$ или один минимум, для $n<1.$ Сумма всех Б. коэффициентов равна $2^n.$ С увеличением $n$ до бесконечности ряд Б. коэффициентов стремится совпасть с рядом значений функции $e^{-x^2}.$ Если $n$ есть число простое, то всякий Б. коэффициент делится на $n$ и др.