Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/8

Поризмы Шаля

Фиг. 6.

Шаблон:§ Пусть дан треугольник $ABC$ (фиг. 6.). Произвольная точка $a$ на $BC$ однозначно определяется заданием отношения $\frac{aC}{aB}$; и аналогично, произвольная точка $b$ на $CA$ — заданием отношения $\frac{bC}{bA}$. Проведем прямые $Aa,Bb$, и пусть они пересекаются в точке $m$, которая, следовательно, однозначно определяется заданием двух отношений $\frac{aC}{aB},\frac{bC}{bA}$, которые называются координатами точки $m$. Прямая $Cm$ пересекает $AB$ в $c$, от чего происходит третье отношение $\frac{cB}{cA}$. Эти три отношения связаны простым соотношением, поскольку, в силу известной теоремы Шаблон:Персона, верно:

$\frac{bC}{bA}:\frac{aC}{aB}=-\frac{cB}{cA}$.

Когда точка $m$ лежит на одной из двух прямых $CA,CB$, одна из двух координат равна нулю. Если же $m$ лежит на $AB$, обе координаты становятся бесконечно велики, но их отношение остается конечным, и именно равным $-\frac{cB}{cA}$.

Предположим, что точка $m$ движется по некоторой заданной прямой, при этом точки $a$ и $b$ пробегают на $CB$ и $CA$ два проективных пунктуала, то есть одному положение точки $a$ отвечает одно единственное положение точки $b$ и наоборот. Поэтому отношения $\frac{aC}{aB},\frac{bC}{bA}$, полностью определяющие положения двух точек $a,b$, связаны уравнением первой степени относительно каждого из них. Поскольку в точке, в которой данная прямая пересекает $AB$, оба отношения $\frac{aC}{aB},\frac{bC}{bA}$ обращаются в бесконечность, то это уравнение неизбежно должно иметь следующий вид: Шаблон:Eq Это соотношение между координатами произвольной точки $m$ на данной прямой называют уравнением прямой.

Выясним теперь, какую форму имеет соотношение между координатами точки $m$, если последняя движется, описывая некоторую кривую порядка $n$. Произвольная прямая, уравнение которой дается соотношением (1), пересекает эту кривую в $n$ точках; следовательно, искомое соотношение и уравнение (1) должны оба удовлетворяться в $n$ парах значений координат $\frac{aC}{aB},\frac{bC}{bA}$; по этой причине необходимо требуется, чтобы искомое уравнение было степени $n$ относительно координат рассматриваемой подвижной точки.

Таким образом, если точка $m$ описывает кривую порядка $n$, подвижные координаты точки $m$ связаны постоянным соотношением вида : Шаблон:Eq которое может быть названо уравнением кривой-места подвижной точки.

Наоборот: если точка $m$ движется таким образом, что ее координаты связаны постоянным соотношением вида (2), место точек $m$ представляет собой кривую порядка $n$.

Шаблон:§ Рассмотрим опять треугольник $ABC$ (фиг. 7); точка $a$ на $BC$, однозначно определенная заданием отношения $\frac{aB}{aC}$, и точка $b$ на $CA$, однозначно определенная заданием отношения $\frac{bA}{bC}$, задают прямую $ab$, которая, следовательно, однозначно определенная заданием двух отношений $\frac{aB}{aC}$ , $\frac{bA}{bC}$.

Фиг. 7.

Эти два отношения называются координатами прямой. Пусть эта прямая пересекает $AB$ в третьей точке $c$, что дает повод к составлению третьего отношения $\frac{cB}{cA}$. В силу известной теоремы Шаблон:Персона, эти три отношения связаны простым соотношением:

$\frac{aB}{aC}:\frac{bA}{bC}=\frac{cB}{cA}$.

Если прямая $ab$ проходит через одну из точек $A$ или $B$, одна из двух ее координат обращается в нуль. Если же прямая проходит через точку $C$, обе эти координаты становятся бесконечно велики, но отношение $\frac{cB}{cA}$ остается конечным.

Предположим, что прямая $ab$ движется, вращаясь вокруг заданной точки. Тогда точки $a,b$ описывают два проективных пункутала, и поэтому координаты прямой $ab$ связаны уравнением первой степени относительно обеих координат. Поскольку, когда подвижная прямая проходит через $C$, обе координаты обращаются в бесконечность, это уравнение имеет вид: Шаблон:Eq Это соотношение между координатами прямой, вращающейся вокруг заданной точки, можно назвать уравнением точки (рассматриваемой как оболочку подвижных прямых).

Предположим теперь, что прямая $ab$ движется, огибая кривую класса $m$; опишем вид соотношения, связывающее координаты подвижной прямой. Через произвольную точку, уравнением которой пусть будет (1'), проходит $m$ касательных к кривой, то есть $m$ положений подвижной прямой. Следовательно, искомое соотношение и уравнение 1') должны вмести удовлетворяться при $m$ парах значений координат. Это возможно только тогда, когда искомое соотношение имеет степень $m$ относительно обеих рассматриваемых координат.

Таким образом, если прямая движется, огибая кривую класса $m$, ее подвижные координаты связаны постоянным соотношением вида: Шаблон:Eq которое можно назвать уравнением оболочки подвижных прямых, огибающих кривую.

Наоборот: если прямая движется таким образом, что ее координаты все время удовлетворяют соотношению вида (2'), оболочка этих прямых образует кривую класса $m$.

Два поризма, доказанные в этом и предыдущем параграфе, были установлены г-ном Шаблон:Персона.

Теоремы Карно

Шаблон:§ Вернемся к уравнению 2). Для точек $a,a^{\prime },\dots$, в которых кривая, описываемая этим уравнением, пересекает прямую $CB$, координата $\frac{bC}{bA}$ равна нулю, вторая же координата удовлетворяет тому же уравнению при $\frac{bC}{bA}=0$. Откуда:

$\frac{aC}{aB}.\frac{a^{\prime }C}{a^{\prime }B}\dots =(-1{)}^n\frac{\rho }{\alpha }.$

Аналогично, для точек $b,b^{\prime },\dots$, в которых кривая пересекает $CA$, получается уравнение:

$\frac{bC}{bB}.\frac{b^{\prime }C}{b^{\prime }B}\dots =(-1{)}^n\frac{\rho }{\pi }.$

Разделим теперь уравнение (2) на ${\left(\frac{aC}{aB}\right)}^n$ и применим теорему Шаблон:Персона, тогда получим:

$\alpha +\beta \frac{aB}{aC}-\gamma \frac{cB}{cA}+\dots +\pi {(-\frac{cB}{cA})}^n+\rho {\left(\frac{aB}{aC}\right)}^n=0$,

полагая здесь $\frac{aB}{aC}=0$, получим точки $c,c^{\prime },\dots$, общие для кривой и прямой $AB$; отсюда:

$\frac{cB}{cA}.\frac{c^{\prime }B}{c^{\prime }A}\dots =\frac{\alpha }{\pi }$.

Перемножая три только что полученные соотношения, получим: Шаблон:Eq это соотношение выражает знаменитую теорему Шаблон:Персона :

Если кривая порядка $n$ пересекает стороны треугольника $ABC$ в точках $a{a}^{\prime }\dots$ на $BC$, $b{b}^{\prime }\dots$ на $CA$, $c{c}^{\prime }\dots$ на $AB$, верно соотношение (3).

Эта теорема может быть применена также и к любому многоугольнику.

Шаблон:§ При $n=1$ теорема Шаблон:Персона сводится к теореме Шаблон:Персона. При $n=2$ она дает свойство шести точек кривой второго порядка. Поскольку кривая второго порядка полностью определяется заданием пяти точек (34), верна и обратная теорема теорема:

Если на сторонах $BC,CA,AB$ треугольника задано шесть точек $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },c{c}^{\prime }$, удовлетворяющих условию: Шаблон:Eq то эти шесть точек $a{a}^{\prime }b{b}^{\prime }c{c}^{\prime }$ лежат на некоторой кривой второго порядка.

Если точки $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ совпадают соответственно с точками $a,b,c$, то есть кривая касается сторон треугольника в точках $a,b,c$, то последнее соотношение дает:

$\frac{aB}{aC}.\frac{bC}{bA}.\frac{cA}{cB}=\pm 1$.

Неоднозначность со знаком, появившаяся после извлечения корня, может быть устранена: если бы в этом соотношении действительно мог стоять знак плюс, то в силу теоремы Шаблон:Персона три точки $a,b,c$ лежали бы на одной прямой, что невозможно, поскольку <простая> кривая второго порядка не может пересекать прямую более чем в двух точках. Таким образом, верно

$\frac{aB}{aC}.\frac{bC}{bA}.\frac{cA}{cB}=-1$,

это, в силу теоремы Шаблон:Персона, означает, что прямые $Aa,Bb,Cc$ пересекаются в одной и той же точке. Следовательно, если кривая второго порядка вписана в треугольник, то прямые, соединяющие вершины треугольника и точки касания на противоположных сторонах пересекаются в одной точке.

Шаблон:§ При $n=3$ теорема Шаблон:Персона утверждает, что стороны треугольника $ABC$ пересекают кривую третьего порядка (коротко называемую кубикой, Шаблон:Lang-it) в девяти точках $a{a}^{\prime }{a}^{″},b{b}^{\prime }{b}^{″},c{c}^{\prime }{c}^{″}$, делящих эти стороны в отношениях, удовлетворяющих соотношению: Шаблон:Eq Если шесть точек $a,a^{\prime },b,b^{\prime },c,c^{\prime }$ лежат на кривой второго порядка, то они удовлетворяют соотношению (4), разделив на него уравнение (5), получим:

$\frac{a^{\prime }B.b^{″}C.c^{″}}{a^{″}C.b^{″}A.c^{″}B}=1$,

это означает, что точки $a^{″},b^{″},c^{″}$ лежат прямой. И наоборот, если точки $a^{″},b^{″},c^{″}$ лежат на прямой, то оставшиеся шесть точек лежат на кривой второго порядка.

Шаблон:§ [Обратившись к случаю,] когда место второго порядка $a{a}^{\prime }b{b}^{\prime }c{c}^{\prime }$ сводится к системе, образованной двумя совпадающими прямыми, имеем:

Если в точках, в которых кубика пересекает заданную прямую восстановить касательные, то они они будут пересекать кривую еще в других трех точках, лежащих на одной прямой.

Если прямая касается кубики в точке $a$, а затем еще пересекает ее в точке $a^{″}$, эта вторая точка называется касательной относительно первой точки. Тогда предыдущую теорему можно выразить так: если три точки кубики лежат на прямой $R$, их касательные точки лежат на другой прямой $S$.

Эта прямая $S$ называется прямой-спутником (Шаблон:Lang-it) исходной прямой $R$ (Шаблон:Lang-it), а точка пересечения прямых $R$ и $S$ — точкой-спутником (Шаблон:Lang-it) прямой $R$.

Если прямая $R$ касается кубики, ее точка-спутник совпадает с касательной точкой относительно точки касания, а прямая-спутник — с касательной к кубике в точке-спутнике.

Шаблон:§ Предположим, что прямая $a^{″}{b}^{″}{c}^{″}$ является стационарной касательной к кубике (§ 29), тогда:

Если в точке перегиба кубики провести три произвольные секущие, то эти последние пересекаю кубику в шести новых точках, лежащих на кривой второго порядка.

Следовательно, если три из этих шести точек лежат на одной прямой, то три другие лежат на другой прямой, откуда:

Если через точку перегиба провести три касательные к кубике, то точки касания окажутся на одной прямой.

Шаблон:§ Выше мы предполагали, что точки $a^{″},b^{″},c^{″}$ лежат на одной прямой, а другие шесть точек $a{a}^{\prime }b{b}^{\prime }c{c}^{\prime }$ — на кривой второго порядка; пусть теперь к тому же три из них, скажем $a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }$, совпадают, тогда верно:

Если три секущие, проведенные из одной точки $a^{\prime }$, лежащей на кубике, пересекают ее в трех точках $a^{″},b^{″},c^{″}$, лежащих на одной прямой, и еще в других трех точках $a,b,c$, то кубика пересекается в точке $a^{\prime }$ с кратностью 3 с некоторой кривой второго порядка, проходящей через точки $a,b,c$.

Допустив, что точки $a^{″},b^{″},c^{″}$ совпадают в точке перегиба, из предыдущей теоремы получаем:

Любая секущая, проведенная из точки перегиба кубики, пересекает ее в двух точках, в которых эта кривая имеет пересечение кратности 3 с одной и той же кривой 2-го порядка.

Отсюда в частности имеем:

Если через точку перегиба кубики провести прямую, касающуюся ее в другой точке, то в этой точке кубика имеет пересечение кратности 6 с некоторой кривой 2-го порядка.

Шаблон:§ Рассмотрим теперь кривую-оболочку класса $m$, представленную уравнением (2'). Можно найти все касательные к этой кривой, проходящие через $A$, положив здесь $\frac{bA}{bC}=0$; получившееся таким образом уравнение укажет координаты точек $a,a^{\prime },\dots$, в которых сторона $BC$ пересекает касательные, проходящие через $A$. Поэтому:

$\frac{aB}{aC}.\frac{a^{\prime }B}{a^{\prime }C}\dots =(-1{)}^m\frac{\rho }{\alpha }$.

Аналогично, для точек $b,b^{\prime },\dots$, в которых сторона $CA$ пересекает касательные, проходящие через $B$, имеем:

$\frac{bA}{bC}.\frac{b^{\prime }A}{b^{\prime }C}\dots =(-1{)}^m\frac{\rho }{\pi }$.

Разделив теперь уравнение (2') на ${\left(\frac{bA}{bC}\right)}^m$, и использовав соотношение

$\frac{aB}{aC}:\frac{bA}{bC}=\frac{cB}{cA}$,

получим:

$\alpha {\left(\frac{cB}{cA}\right)}^m+\beta {\left(\frac{cB}{cA}\right)}^{m-1}.\frac{bC}{bA}+\gamma {\left(\frac{cB}{cA}\right)}^{m-1}+\dots +\pi +\rho {\left(\frac{bC}{bA}\right)}^m=0$.

Положив в этом уравнении $\frac{bC}{bA}=0$, получим координаты точек $c,c^{\prime },\dots$, в которых $AB$ пересекает касательные, проходящие через $C$. Следовательно,

$\frac{cB}{cA}.\frac{c^{\prime }B}{c^{\prime }A}\dots =(-1{)}^m\frac{\pi }{\alpha }$.

Перемножая три полученные соотношения, имеем: Шаблон:Eq Таким образом, доказана теорема:

Если провести через вершины треугольника $ABC$ касательные к кривой класса $m$, то они пересекают противоположные стороны в точках $a{a}^{\prime }\dots ,b{b}^{\prime }\dots ,c{c}^{\prime }\dots$, делящих стороны таким образом, что верно соотношение (3').

При $m=1$ это утверждение сводится к теореме Шаблон:Персона. При $m=2$ получается некоторое свойство шести касательных кривой 2-го класса, из которого можно вывести следующее утверждение: если такая кривая описана около треугольника, то касательные к ней, проведенные в вершинах треугольника, пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой. И т.д.

Шаблон:§ Пусть $U=0$, $U^{\prime }=0$ - два уравнения, подобные (2) и описывающие две кривые порядка $n$. Обозначим как $\lambda$ произвольную величину, тогда уравнение $U+\lambda U^{\prime }=0$ описывает, очевидно, некоторую другую кривую порядка $n$. При тех значениях координат $\frac{aC}{aB},\frac{bC}{bA}$, в которых обращаются в нуль и $U$, и $U^{\prime }$, обращается в нуль и $U+\lambda U^{\prime }$; поэтому все $n^2$ пересечений двух кривых $U=0$ и $U^{\prime }=0$ принадлежат кривой $U+\lambda U^{\prime }=0$. Поскольку же это последнее уравнение представляет кривую порядка $n$ для каждого из бесконечного числа значений $\lambda$ и это значение может быть выбрано произвольным образом, верна теореме:

Через $n^2$ пересечений двух кривых порядка $n$ проходит бесконечное число кривых того же порядка.

В § 34 было доказано, что кривая порядка $n$ полностью определяется заданием $\frac{n(n+3)}{2}$ условий. Из предыдущей теоремы следует, что через $\frac{n(n+3)}{2}$ точек проходит, в общем, одна единственная кривая порядка $n$. В самом деле, если бы через эти точки проходило две кривые одного порядка, то в силу последней теоремы, проходило бы и бесконечно много таких кривых.

Через $\frac{n(n+3)}{2}-1$ заданных точек (§ 34) проходит бесконечное число кривых порядка $n$, две из них пересекаются еще в

$n^2-(\frac{n(n+3)}{2}-1)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

других точках, которые, следовательно, принадлежат также всем другим кривым, проходящим через заданные точки. Иными словами:

Через $\frac{n(n+3)}{2}-1$ заданных точек в общем случае проходит бесконечное число кривых порядка $n$, которые, кроме заданных точек, пересекаются еще в $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ других точках, положение которых полностью определено.

Произвольная из этих кривых полностью определяется заданием одной точки, добавляемой к $\frac{n(n+3)}{2}-1$ данным, то есть среди бесконечного числа кривых, проходящих через $\frac{n(n+3)}{2}-1$ данных точек, имеется одна единственная, проходящая еще и через одну точку, выбранную произвольным образом. В следствии этого, индекс ряда, образованного этим бесконечным числом кривых (§ 34), равен 1. Будем называть такой ряд пучком (Шаблон:Lang-it); под пучком порядка $n$ условимся понимать бесконечную систему кривых этого порядка, проходящих через $\frac{n(n+3)}{2}-1$ точек, заданных произвольным образом, и еще через $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ других точек, положение которых полностью определено заданием первых. Множество $n^2$ пересечений кривых пучка называется базой (Шаблон:Lang-it) пучка.

Аналогичные свойства обнаруживают и кривые заданного класса. $m^2$ общих касательных двух кривых класса $m$ касаются бесконечного числа кривых того же класса. Но имеется лишь одна единственная кривая класса $m$, касающаяся $\frac{m(m+3)}{2}$ прямых, взятых произвольным образом. Все кривые класса $m$, имеющие $\frac{m(m+3)}{2}-1$ общих касательных, имеют еще $\frac{(m-1)(m-2)}{2}$ общих касательных, положение которых полностью определено заданием первых.