БСЭ1/Мера

Шаблон:БСЭ1 МЕРА (мат.), понятие, обобщающее на точечные множества (см. Шаблон:Lsafe) понятия длины отрезка, Шаблон:Lsafe (см.), плоской фигуры и Шаблон:Lsafe (см.) тел. Рассмотрим в виде примера плоскую М., т. е. М. точечных множеств на плоскости. При определении обыкновенных площадей мы исходим из площадей прямоугольников, определяющихся элементарно (см. Шаблон:Lsafe). Для определения площади фигуры F, ограниченной кривой линией, мы подразделяем плоскость на равные квадраты со стороною ε и рассматриваем предел суммы площадей тех квадратов, к-рые покрывают фигуру F, при ε, стремящемся к нолю, как площадь этой фигуры F. Если вместо элементарной фигуры F рассматривать произвольные точечные множества, то указанный метод оказывается пригодным лишь в случае замкнутых множеств. В более общих случаях употребляется определение меры Лебега: мерой множества E называется нижний Шаблон:Lsafe (см.)

$\sum _{i=1}^{n}V({\mathrm{\Delta }}_i)$

площадей $V({\mathrm{\Delta }}_i)$ прямоугольников ${\mathrm{\Delta }}_i$, взятый по всем системам прямоугольников ${\mathrm{\Delta }}_i$, покрывающим каждая целиком множество E. Аналогично определяется линейная М. точечных множеств на прямой, только вместо прямоугольников рассматриваются интервалы, а вместо площадей прямоугольников — длины интервалов. Для фигур, встречающихся в элементарной геометрии, понятие плоской М. совпадает с понятием площади. Аналогично линейная мера интервала совпадает с длиной. Своеобразное понятие М. в более сложных случаях можно понять из следующего примера: М. интервала (0, 1) на числовой прямой равна единице, М. множества рациональных точек этого интервала равна нолю, хотя это множество всюду плотно, М. же множества иррациональных точек того же интервала равна единице. — Понятие М. лежит в основе определения интеграла Лебега (см. Шаблон:Lsafe) и вообще принадлежит к числу основных понятий современной теории множеств и теории функций.

Лит.: Шаблон:Razr2 П. С. и Шаблон:Razr2 А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 2 изд., Москва — Ленинград, 1933; Шаблон:Razr2, Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. I — II, Ленинград — Москва, 1933. О дальнейших обобщениях см. Шаблон:Razr2 С., Vorlesungen über reelle Funktionen, Lpz., 1918, 2 Aufl, Lpz., 1927.