БСЭ1/Маятник

МАЯТНИК, твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, не совпадающую с центром тяжести тела, и потому способное совершать колебания вокруг этой точки. Наиболее простое движение маятник совершает в том случае, когда расстояние от всех точек тела до неподвижной точки (точки подвеса) велико по сравнению с размерами самого тела. Это имеет место, напр., в том случае, когда массивное тело небольших размеров подвешено на длинной нити или на стержне, масса к-рых мала по сравнению с массой тела (рис. 1). Тогда подвешенное тело можно рассматривать как материальную точку. Такой М. носит название математического М. Когда размеры тела сравнимы с расстояниями до точки подвеса, это упрощение невозможно, и движение маятника приходится рассматривать как движение твердого тела. В этом случае маятник называют физическим (рис. 2).

Математический М. Когда М. совершает плоское движение, он носит название плоского М. Для получения плоского движения необходимо, чтобы начальная скорость, сообщенная М., лежала в плоскости его начального отклонения (в частности М. может иметь только начальное отклонение или только начальную скорость). При рассмотрении движения обычно можно считать нить или стержень, на к-рых подвешен М., нерастяжимыми, т. е. считать, что движение М. происходит по дуге круга. Шаблон:Rfloat В таком случае положение М. определяется одной координатой, напр., углом $\phi$, на к-рый М. отклонен от положения равновесия (рис. 1). Уравнение движения М. получим, составляя уравнение моментов относительно неподвижной точки (трением и сопротивлением среды пренебрегаем):

$m{l}^2\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-mglsin\phi$ $\frac{d^2\phi }{d{t}^2}+\frac{q}{l}\sin \phi =0$.   (1)Шаблон:Примечание ВТ

Это уравнение нелинейное. Оно приводит к эллиптическому интегралу для выражения периода колебаний М. Если отклонения М. малы, можно заменить синус углом, и тогда приближенное уравнение движения М. при малых отклонениях будет иметь вид:

$\frac{d^2\phi }{d{t}^3}+\frac{g}{l}\phi =0$.   (2)Шаблон:Примечание ВТ

Это — уравнение гармонических колебаний с периодом

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.   (3)

Так как $\sin \phi$ растет медленнее, чем $\phi$, то при увеличении отклонений восстанавливающая сила будет расти медленнее, чем по линейному закону. Поэтому период колебаний будет возрастать с увеличением амплитуды колебаний. Эта зависимость периода от амплитуды ${\phi }_o$ учитывается следующей формулой, к к-рой приводит уравнение (1)

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\sin {}^2\frac{{\phi }_o}{2}+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\sin {}^4\frac{{\phi }_o}{2}+...\}$. (4)

По сравнению с приближенной формулой (3) поправка составляет около 0,05% при

${\phi }_o=5^{\circ }$

. Поэтому на практике почти всегда (за исключением случаев, когда нужна очень большая точность) пользуются приближенной формулой (3). Если начальная скорость М. не лежит в плоскости начального отклонения, то движение М. уже не будет плоским. М. будет описывать эллипсоподобные траектории на сферической поверхности. В этом случае М. принято называть сферическим.

Физический М. Наиболее простым является случай плоского движения, т. е. вращения М. вокруг неподвижной оси. Положение М. и в этом случае можно задать одним углом отклонения $\phi$ от начального положения какой-либо прямой, неподвижно связанной с М. Удобнее всего брать прямую, проходящую через ось вращения $O$ и центр тяжести $C$ и потому вертикальную в покоящемся маятнике (рис. 2). Уравнение движения М. в этом случае имеет такой вид:

$I\frac{d^2\phi }{d{t}^3}=-Mgl\sin \phi$,Шаблон:Примечание ВТ

где

$I$

— момент инерции маятника относительно оси вращения, а

$l$

— расстояние от оси вращения до точки приложения восстанавливающей силы, т. е. до центра тяжести,

$M$

— масса маятника. Если амплитуды колебаний малы, то

$\sin \phi$

можно заменить через

$\phi$

, и уравнение движения физического М. принимает вид:

$I\frac{d^2\phi }{d{t}^2}+Mgl\phi =0$.   (5)

Это — уравнение гармонических колебаний с периодом

$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgl}}$

Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., к-рый имеет длину

$l_o=\frac{I}{Ml}$.

Эта длина называется «приведенной длиной» данного физич. М. (см. Шаблон:Lsafe, Шаблон:Lsafe).

Применения М. Общеизвестно применение М. в часах. Роль М. в часах состоит в том, что период колебаний М. служит единицей времени, а весь остальной механизм служит лишь счетчиком числа колебаний М. Однако колебания М. затухают, и часовой механизм должен его подталкивать для поддержания колебаний. Эти толчки нарушают период колебаний М. и вместе с тем понижают точность часов. В точных часах величина и момент толчка выбираются таким образом, чтобы эти нарушения периода колебаний были по возможности малы. Чтобы устранить влияния температуры на длину М., а вместе с тем и на период его колебаний, в точных часах применяются М. из сплавов с малым температурным коэффициентом расширения и со специальной компенсацией длины [так наз. Шаблон:Lsafe (см.)]. Маятниковые часы непригодны для движущихся экипажей, особенно тех, к-рые испытывают вертикальные ускорения (напр., морские суда в качке). Другое важное применение М. — определение ускорения силы тяжести в разных точках. Определяя по хронометру период колебаний М. в различных точках, можно судить об изменении ускорения силы тяжести от точки к точке.

Лит.: [[Орест Данилович Хвольсон|Шаблон:Razr2 О. Д.]], Курс физики, т. I, 7 изд., Л. — М., 1933; [[Эрнст Гримзель|Шаблон:Razr2 Э.]], Курс физики, т. I, вып. 1, М. — Л., 1933. Шаблон:Примечания ВТ