БСЭ1/Гамма-функция

Шаблон:БСЭ1 ГАММА-ФУНКЦИЯ, одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, определяемая для положительных значений аргумента $s$ формулой:

$\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{s-1}dx$

где $e$—основание натуральных логарифмов. С помощью этого определения легко устанавливается для $s>1$ функциональное уравнение $\mathrm{\Gamma }(s)=(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)$. Т. к. $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, то отсюда легко вывести, что для целого положительного аргумента: $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ На этом основаны многочисленные применения функции $\mathrm{\Gamma }$ в теории чисел. Другие замечательные соотношения, которым удовлетворяет функция $\mathrm{\Gamma }$, таковы:

$\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$;   $\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(s+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2s-1}}\mathrm{\Gamma }(2s)$.

Функция

$\mathrm{\Gamma }(s)$

от комплексного переменного однозначна, нигде не обращается в нуль и имеет полюсы в точках

$s=0,-1,-2,-3,...$