Квадратура круга (Перельман)/Глава 7

Ответы и Указания

1. Если радиус круга $R$, то площадь его $\pi R^2$, а длина окружности $2\pi R$. Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною $\frac{2\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2}$. Площадь такого квадрата равна

${\left(\frac{\pi R}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2{R}^2}{4}$

Отношение

$\frac{{\pi }^2{R}^2}{4}:\pi R^2=0,785$

показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22%.

2. Из отношения

${(\frac{8}{9}\cdot 2R)}^2:\pi R^2$

легко установить, что изложенное в задаче правило даёт преувеличение примерно на 0,6%.

3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.

4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.

5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в $\sqrt{1+9}$, т.е. $\sqrt{10}$ тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и $\frac{1}{2}\sqrt{10}$ единиц длины.

<Рисунок 6>

Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).

6. Сумма $\sqrt{2}+\sqrt{3}=1,414+1,732=3.146$. Зная, что при радиусе, равном единице длины, $\sqrt{2}$ есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), а $\sqrt{2}$ — сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.

7. Сумма $1,8+\sqrt{1,8}=1,8+1,342=3,142$. Для построения отрезка в $1,8+\sqrt{1,8}$ единиц длины, надо уметь построить отрезок равный $\sqrt{1,8}$ единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее смотри решения предыдущих задач.

<Рисунок 7>

8. Так как выражение

$1\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\sqrt{{\left(1\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}$

равно $1,8+\sqrt{1,8}$, то задача является видоизменением предыдущей.

9. Семь верных цифр.

10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна $\frac{3}{4}$ площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь $\pi$ принимается равным 3,15 — приближение достаточное для многих практических целей.