ЭСБЕ/Наибольшие и наименьшие показатели

Наибольшие и наименьшие показатели. — Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного $y$ в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного $x$ в тех случаях, когда $x$ и $y$ связаны уравнением вида $f(x,y)=0.$ Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

(1) ... $a_0{x}^{m_0}{y}^{n_0}+a_1{x}^{m_1}{y}^{n_1}+a_2{x}^{m_2}{y}^{n_2}+\dots =0$

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного $y$ по степеням переменного $x,$ т. е. в нахождении для разложения: $y=A{x}^{\alpha }+B{y}^{\beta }+C{y}^{\gamma }$ показателей: $\alpha ,\beta ,\gamma \dots$ и коэффициентов: $A,B,C\dots$ Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: $\alpha <\beta <\gamma \dots$ Вставив в данное уравнение (1) вместо $y$ величину $A{x}^{\alpha }$ получим:

(2) ... $A^{n_0}{a}_0{x}^{m_0+n_0\alpha }+A^{n_1}{a}_1{x}^{m_1+n_2\alpha }+A^{n_2}{a}_2{x}^{m_2+n_2\alpha }+\dots ;$

Шаблон:Noindentесли $\alpha$ наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:

(3) ... $m_0+m_0\alpha ;m_1+m_1\alpha ;m_2+m_2\alpha \dots$

Шаблон:Noindentнайдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении $\alpha$ сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения $\alpha$ и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента $A,$ вставим один из найденных наименьших показателей вместо $\alpha$ в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного $x.$ Таким образом получим уравнение, из которого определится $A.$ Найдя $\alpha$ и $A,$ полагаем: $y=A{x}^{\alpha }+y_1.$ Вставляя эту величину переменного $y$ в данное уравнение (1), получим уравнение вида $F(x,y_1)=0,$ с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член $B{x}^{\beta }$ искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного $x$ в разложении $y,$ которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного $\alpha .$ Затем, полагая $y_1=B{x}^{\beta }{y}_{1}1$ преобразуем уравнение $F(x,y_1)=0$ в уравнение $F_1(x,y_{11})=0$ и продолжаем вычисление для определения $Cy\gamma$ и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений $\alpha ,$ при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:

(1)′... $x^2{y}^3-3x^3{y}^2-3y^2+xy+x^4<+1=0$

Вставляя в него вместо $y$ величину $Ax,$ получим:

(2)′ ... $A^3{x}^{3\alpha +2}-3A^2{x}^{2\alpha +3}-A^2{x}^{2\alpha }+A{x}^{\alpha +1}+1=0$

Показатель $2\alpha +3$ второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких $\alpha$ более показателя $2\alpha$ третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:

(3)′ ... $3\alpha +2;2\alpha ;\alpha +1;0.$

Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то: $3\alpha +2=2\alpha ;$ $3\alpha +2=\alpha +1$ и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения $\alpha ,$ составляем табличку:

Шаблон:Trh Величины ряда (3)′ || I || II || III || IV || V || VI Шаблон:Trh α = − 2 || α = − Шаблон:Дробь || α = − Шаблон:Дробь || α = + 1 || α = 0 || α = − 1 Шаблон:Tr 3α + 2 || − 4 || + Шаблон:Дробь || 0 || 5 || 2 || + 1 Шаблон:Tr 2α || − 4 || − Шаблон:Shift || − Шаблон:Дробь || 2 || 0 || − 2 Шаблон:Tr α + 1 || − 1 || Шаблон:Дробь || Шаблон:Дробь || 2 || 1 || 0 Шаблон:Tr 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0

Началу наименьших показателей удовлетворяет только $\alpha =-2$ и $\alpha =0,$ потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число −4 стоит против $3\alpha +2$ и против $2\alpha ,$ в V-м столбце число 0 стоит против $2\alpha$ и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина $\alpha =+1$ не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: $A_1{x}^{-2}$ и $A_2{x}^0.$ Для определения $A_1$ замечаем, что при подстановке −2 вместо $\alpha$ в уравнение (2)′ окажутся равными показатели членов: $A^3{x}^{3\alpha +2}$ и $A^2{x}^2\alpha .$ Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: $A^3-A^2=0,$ откуда $A_1=1.$ Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо $\alpha$), что $A_2=\pm 1.$ Итак, получим три разложения:

$\begin{array}{cc}& y=x^{-2}+\dots \\ & y=+1+\dots \\ & y=-1+\dots \end{array}$

Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным $x^{-2}.$ Чтобы найти следующий член, полагаем: $y=x^{-2}+y_1.$ Вставив эту величину $y$ в данное уравнение, получим:

$x^2(x^{-2}+y_1{)}^3-(3x^3+1)(x^{-2}+y_1{)}^2+x(x^{-2}+y_1)+x^4+1=0;$

Шаблон:Noindentпоступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим $B$ и $\beta$ и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного $x$ можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если $x$ небольшая величина. Если же $x$ величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение $y$ по нисходящим степеням переменного $x.$ В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: «Шаблон:Lang». Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: «Шаблон:Lang» (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: «Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées» (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: «Математический Сборник» (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в «Аналитической Геометрии» Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его «Шаблон:Lang» (т. II) и у Бугаева в его ст.: «Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций» («Матем. Сборник», т. XIV).