ЭСБЕ/Определитель

Определитель (Determinant). — Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными:

$a_{1}x+b_{1}y=c_1$,

$a_{2}x+b_{2}y=c_2$,

получаем следующие выражения для x и у:

$x=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$,

$y=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}$.

Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражение последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет:

$a_1{b}_2{c}_3-a_1{b}_3{c}_2+a_2{b}_3{c}_1-a_2{b}_1{c}_3+a_3{b}_1{c}_2-a_3{b}_2{c}_1$.

Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:

$a_1{b}_2-a_2{b}_1=\left|\begin{array}{c}{a}_1,a_2\\ b_1,b_2\end{array}\right|$

$a_1{b}_2{c}_3-a_1{b}_3{c}_2+...-a_3{b}_2{c}_1=\left|\begin{array}{c}{a}_1,a_2,a_3\\ b_1,b_2,b_3\\ c_1,c_2,c_3\end{array}\right|$

Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:

$\left|\begin{array}{c}\frac{d{\varphi }_1}{d{x}_1},\frac{d{\varphi }_1}{d{x}_2},\frac{d{\varphi }_1}{d{x}_3}\\ \frac{d{\varphi }_2}{d{x}_1},\frac{d{\varphi }_2}{d{x}_2},\frac{d{\varphi }_2}{d{x}_3}\\ \frac{d{\varphi }_3}{d{x}_1},\frac{d{\varphi }_3}{d{x}_2},\frac{d{\varphi }_3}{d{x}_3}\end{array}\right|$

трех функций φ₁, φ₂, φ₃ от трех переменных х₁, x₂, x₃. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. См. Ващенко-Захарченко, «Теория определителей»; Baltzer, «Théorie et application des déterminants».