ЭСБЕ/Разрывность

Разрывность. — Функция $f(x)$ непрерывна при $x=a,$ если при приближении $x$ к $a$ предел функции $f(x)$ равен $f(a);$ в этом случае

$\lim f(x)=f(\lim x).$

Если же это равенство не оправдывается, то говорят, что функция $f(x)$ претерпевает разрыв при $x=a.$ — Р. может появиться в следующих случаях: 1) если $\lim f(x)$ не существует; 2) если $\lim f(x)$ существует, но функция $f(x)$ не имеет смысла при $x=a;$ 3) если $\lim f(x)$ и $f(a)$ существуют, но $\lim f(x)$ не $=f(a).$

Приведем несколько примеров.

Функция $\sin \frac{1}{x}$ — претерпевает разрыв при $x=0,$ так как эта функция при уменьшении численного значения $x$ не стремится ни к какому пределу.

Функция $\frac{\sin x}{x}$ разрывна при $x=0,$ так как эта функция не имеет смысла при $x=0.$ Обыкновенно такой разрыв уничтожают, пользуясь тем, что $\lim \frac{\sin x}{x}=1$. С этой целью функцию определяют двумя равенствами.

$f(x)=\frac{\sin }{x}x$ при $x$ не $=0,f(0)=1.$

Шаблон:NoindentТакая функция $f(x)$ непрерывна при $x=0.$ Числовая функция

$f(s)=Ex,$

Шаблон:Noindentвыражающая целую часть числа $x,$ разрывна при всяком целом значении $x.$ Если, например, $x=n,$ то при положительном бесконечно малом $h$

$\lim f(n-h)=n=1,$ но $f(n)=n;$ $\lim f(x)$ не $=f(\lim x).$