ЭСБЕ/Сферические функции

Сферические функции (Kugelfunctionen). — Выражение:

$\frac{1}{\sqrt{1-2\alpha \mu +{\alpha }^2}}$

в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням α:

1 + αР₁ + α²Р₂ + α³P₃ +… + αⁿP_n +…,

в котором P с разными индексами суть следующие функции от μ:

$P_1=\mu ,$ $P_2=\frac{1}{2}(3{\mu }^2-1)$

$P_3=\frac{1}{2}(5{\mu }^3-3\mu )$…

и вообще Р_n может быть представлено так:

$P_n=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{\mu }^n}({\mu }^2-1{)}^n$, где n! = 1·2·3 … n.

Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine «Handbuch d. Kugelfunctionen», a в книгах Thomson and Tait («Treatise on natural philosophy»), Lamb («Hydrodynamics», 1895) и Cl. Maxwell, «Шаблон:Lang» (trad. p. Lui Séligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.