ЭСГ/Небесная механика
Небесная механика, см. приложение.
Приложение
1. Небесная механика есть отдел астрономии, в котором исследуется на основании принципов и теорем механики движение небесных тел под действием сил, влияющих на их движение, прежде всего, главным образом и часто исключительно под действием сил взаимного притяжения их по закону Ньютона.
1. Ньютон показал (см. [[../Планеты|планеты]]), что законы движения планет, эмпирически найденные Кеплером, объясняются механически, если предположить, что Солнце притягивает каждую планету с силой, величина которой зависит от расстояния между Солнцем и планетой и уменьшается пропорционально квадрату этого расстояния. Исходя из этого, Ньютон точнее формулировал закон взаимного притяжения, а именно, что каждая частица вещества в солнечной системе притягивает каждую другую частицу с силой, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния между ними и пропорционально количеству вещества в каждой частице, или пропорционально массе каждой частицы. Поэтому при рассмотрении взаимного притяжения двух каких-либо тел мы должны вообразить себе, что каждая частица одного из них притягивает по указанному закону каждую частицу другого; все эти силы — малые, так как объем, а следовательно, и массу каждой частицы мы воображаем сколь угодно малыми, но по правилам механики все эти силы можно сложить и заменить их все одной равнодействующей; подробное расследование показывает, что эта равнодействующая в общем случае не проходит чрез центр тяжести тела, но ее можно заменить совокупностью 1) силы, приложенной в центре тяжести тела, которая стремится изменить движение центра тяжести, и 2) пары сил, стремящейся изменить вращение тела около его центра тяжести. Такой же результат получается и в том случае, когда имеется не два, а несколько взаимно притягивающихся тел; в результате действия каждой частицы всех прочих тел на каждую частицу одного из них получается сила, приложенная к его центру тяжести, и пара сил, вращающая тело около этой точки. Таким образом исследование движений небесных тел под действием их взаимного притяжения приводится к двум независимым задачам: 1) задача о движении центров тяжести небесных тел; центр тяжести каждого тела движется так, как будто бы в нем было сосредоточено все вещество, вся масса тела; он является в этом случае тем, что наз. материальной точкой; 2) задача о вращении тела около его центра тяжести; это вращение происходит независимо от движения центра тяжести, как будто бы он был неподвижен.
2. Если тела имеют сферическую форму и каждое — равномерную плотность во всем объеме, или если слои одинаковой плотности имеют сферическую форму, то равнодействующая взаимных притяжений частиц сводится только к одной силе, без пары сил, и величина этой силы в точности обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тяжести и пропорциональна произведению масс обоих взаимно тяготеющих тел; вообще говоря, это условие в природе точно никогда не осуществляется, но существенно важно для небесной механики, что, если размеры тел малы сравнительно с расстоянием между ними, то величину равнодействующей, приложенной в центре тяжести каждого из них, с очень большой точностью можно все-таки считать обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами тяжести, и допускаемая при этом неточность тем меньше, чем меньше размеры тел сравнительно с их расстоянием друг от друга; пара сил при этом не исчезает, но ее момент также тем меньше, чем меньше размеры тел сравнительно с их расстоянием (он уменьшается приблизительно пропорционально кубу этого расстояния); таковы именно условия взаимного притяжения Солнца и планет. Более того, не только размеры планет очень малы сравнительно с их расстояниями, но даже и размеры орбит их спутников также достаточно малы, поэтому равнодействующие сил взаимного притяжения между этими системами (планета + ее спутники) с достаточной точностью могут считаться обратно пропорциональными квадратам расстояний между центрами тяжести этих систем. Поэтому, напр., движение Земли относительно Солнца разлагается на две задачи: 1) движение общего центра тяжести Земли и Луны относительно Солнца и 2) движение Земли относительно этого центра тяжести.
3. На основании законов динамики доказывается, что если сила, притягивающая материальную точку по направлению к неподвижной точке (т. наз. центр притяжения), изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между материальной точкой и центром притяжения, то материальная точка описывает коническое сечение (эллипс, параболу или гиперболу), в одном из фокусов которого находится центр притяжения, при чем радиус-вектор матер. точки описывает площади, пропорциональные времени (иными словами, площадь, описываемая радиусом вектором в единицу времени, одинакова во всех частях орбиты; или: скорость матер. точки в каждой точке орбиты обратно пропорциональна длине перпендикуляра, опущенного из центра притяжения на касательную к орбите в этой точке). Если неподвижного центра притяжения нет, а есть две матер. точки с массами m1 и m2, взаимно притягивающие друг друга с силою ньютонианского притяжения (сила , где r — расстояние между m1 и m2, а k² — коэффициент, величина которого зависит от принятых единиц длины, массы и времени), то общий центр тяжести этих матер. точек либо неподвижен, либо движется прямолинейно и равномерно, а каждая точка движется вокруг него по коническому сечению, как около неподвижного центра притяжения; оба эти конические сечения одинаковы по форме (т. е. у них одинаковый эксцентриситет), размеры же их обратно пропорциональны массам матер. точек: большая масса описывает меньшую орбиту, меньшая — большую. Из этого можно вывести, что движение любой массы, напр., m1, относительно другой m2 таково, что m1 описывает относительно m2 коническое сечение той же самой формы, как пути их относительно общего центра тяжести, и с тем же законом движения, так что движение каждой из них относительно другой таково, как будто бы последняя была неподвижным центром притяжения. При этом, если коническое сечение есть эллипс, то в течение некоторого времени одна точка совершает полный обход по эллипсу вокруг другой, это есть время обращения Т; если обозначить через a половину большой оси эллипса (она же есть среднее расстояние между m1 и m2), то можно доказать, что величина есть величина постоянная во всех случаях, она равна , где π — отношение длины окружности к диаметру, а k вышеупомянутый коэффициент; след., величины T, a и (m1 + m2) не могут быть произвольными; если известны две из них, то третью можно вычислить. Сообразно со всем изложенным, если есть два небесные тела, частицы которых взаимно притягиваются по закону Ньютона, и размеры их достаточно малы сравнительно с их расстоянием друг от друга, то центры тяжести их движутся вокруг общего центра тяжести по указанным законам; мы не можем видеть этого движения, так как общий центр тяжести не видим, мы наблюдаем лишь движение геометрического центра одного тела относительно другого, но, как указано, это относительное движение подчиняется тем же законам; эти законы выражают собою все свойства движений в этой задаче, т. наз. задаче о двух телах.
4. Задача о трех телах, т. е. о движении трех материальных точек, взаимно притягивающих друг друга по закону Ньютона, в общем виде, т. е. при любых массах, при любом расположении тел и любых скоростях в какой-либо момент движения, не решена до сих пор, т. е. не получено ни каких-либо общих законов движения каждого тела в отдельности ни полной формулы, по которой можно было бы вычислить положение каждого тела в любой момент времени. Однако, хотя такого общего и точного решения задачи о трех и о многих телах и не получено, астрономы могут вычислять с достаточною точностью движения тел в солнечной системе, но это возможно лишь потому, что 1) масса Солнца, а потому и его притягательная сила, гораздо больше массы и притягательной силы каждой планеты (см. таблицу масс при сл. планеты), и 2) ни одна из больших планет не подходит очень близко ни к Солнцу ни к другой большой планете. Вследствие этого движение каждой планеты главным образом зависит от взаимного притяжения между нею и Солнцем, другие планеты своим притяжением лишь немного видоизменяют (возмущают, как говорится) эллиптическое (невозмущенное) движение планеты относительно Солнца, которое было бы, если бы другие планеты не существовали. Пусть (см. рис.) S — Солнце, Р — планета, которая при отсутствии других планет описывала бы относительно Солнца эллипс, означенный на рисунке; в каждый момент она имеет некоторую скорость, определенную по величине и по направлению ее; величина в направление ее непрерывно, без скачков, меняются вследствие взаимного притяжения Солнца и планеты. Вообразим теперь, что существует еще другая планета P′, движущаяся по какой-либо орбите. Она своим притяжением видоизменяет движение планеты Р относительно S, и притом изменение это, т. сказ., двухстороннее: во-первых, она притягивает к себе планету P′ по закону Ньютона и этим непрерывно изменяет величину и направление ее скорости, но, кроме того, планета Р′, притягивая к себе Солнце, заставляет и его перемещаться немного иначе, чем оно двигалось бы в отсутствии ее (вокруг общего центра тяжести Солнца и планеты Р); можно сказать, что планета Р′, кроме непосредственного действия на планету Р, еще меняет место того фокуса (центр Солнца), относительно которого планета Р должна описывать эллипс. Если, как это и есть на деле в солнечной системе, масса планеты Р′ мала сравнительно с массой Солнца, то оба указанные влияния планеты Р′ на движение планеты Р относительно Солнца изменяют величину скорости Р относительно S лишь на очень малую долю ее и направление скорости лишь на очень малый угол; поэтому и возмущенное планетою Р′ движение планеты Р относительно Солнца лишь немного отклоняется от невозмущенного. Эти отклонения (т. наз. возмущения) можно вычислить с достаточно большою, для целей естествознания, точностью именно потому, что они невелики; если бы среди планет была хоть одна, масса которой не очень много разнилась бы от массы Солнца, то движение остальных планет было бы гораздо сложнее, чем оно есть на деле, и вычисление их движений было бы несравненно труднее, чем при настоящих условиях в солнечной системе. Существенно при этом, что степень точности, которая может быть достигнута и достигается при вычислении возмущений, вполне соответствует точности даже теперешних наблюдений, так что, сопоставляя результаты вычислений с наблюдениями, астрономы могут судить о том, действительно ли движение планет управляется лишь притяжением Солнца и их взаимными притяжениями, или к этому присоединяются еще какие-либо силы природы, а также и о том, точно ли взаимное притяжение выражается законом Ньютона (обратно пропорционально квадрату расстояния); ср. сказанное в ст. [[../Планеты|Планеты]] и [[../Луна|Луна]]. Отклонения движения планет от эллиптического движения, или т. наз. возмущения, разделяются на 1) периодические и 2) вековые. Первые таковы, что они изменяют движение небесного тела то в одну, то в другую сторону, напр., то ускоряют его, то замедляют; периоды этих колебаний могут быть в разных случаях весьма разнообразны: от немногих недель до нескольких десятилетий или столетий. Вековыми возмущениями называются такие, которые изменяют движение в одну и ту же сторону, напр., все время ускоряют его; некоторый из этих возмущений суть, говоря строго, тоже периодические, но с огромными периодами в несколько тысячелетий, так что в течение нескольких сотен лет изменение движения сохраняет один и тот же характер.
5. Если расстояние между взаимно тяготеющими телами не очень велико сравнительно с размерами хоть одного из них, то форма их оказывает уже заметное влияние на величину равнодействующей взаимного притяжения их частиц; если, как, напр., в случае планет, тело более или менее сплюснуто, то вследствие этой сплюснутости сила притяжения между телами, напр., между планетой и ее спутником, меняется уже по более сложному закону, чем квадрат расстояния между их центрами тяжести, и от этого движение получается не эллиптическим, а более сложным. Это обстоятельство учитывается при исследовании движения спутников вокруг их планет. Кроме того, на движение каждого спутника влияет еще притяжение других спутников той же планеты, а главным образом притяжение Солнца, опять таки вследствие его большой массы. Это влияние зависит от различия влияния Солнца на движение планеты и на движение ее спутника; притяжение Солнца в каждый момент изменяет скорость планеты и скорость спутника, но не одинаково, потому что и их расстояния от центра Солнца, вообще говоря, не одинаковы, и направления от их центров к центру Солнца не совпадают; различие этих непрерывных изменений скорости и ее направления у планеты и у спутника вносит непрерывное изменение в то движение спутника относительно планеты, которое было бы при отсутствии Солнца. Чем дальше отстоит спутник от планеты, тем больше это влияние Солнца на его движение вокруг планеты; с другой стороны, чем дальше планета со спутником от Солнца, тем меньше возмущающее действие Солнца на движение спутника; оно уменьшается пропорционально кубу расстояния; так что, напр., возмущающее действие Солнца на движение спутника Нептуна вокруг Нептуна прибл. в 27.000 раз меньше возмущающего действия его на движение луны вокруг Земли (Нептун дальше Земли от Солнца прибл. в 30 раз, а его спутник находится прибл. на таком же расстоянии от него, как Луна от Земли). В случае Луны и Земли возмущающая сила Солнца может достигать Шаблон:Дробь-ой доли взаимного притяжения между Землею и Луною; она значительно больше той возмущающей силы, которая происходит от сплюснутости Земли. Подобно Солнцу, на движение спутников вокруг планеты действуют и прочие планеты, но по малости их масс их действие очень мало сравнительно с действием Солнца.
6. Из предыдущего ясно, что при практическом применении общих теорем и формул небесной механики к исследованию движений планет, их спутников, комет нужно знать их массы и, для начала хоть приблизительно, их пути относительно Солнца, чтобы можно было для каждого момента вычислить возмущающее действие любого небесного тела на каждое из остальных. Конические сечения, приближенно представляющие действительные пути планет и комет относительно Солнца, выводятся из видимых движений их на фоне звездного неба; массы же проще и точнее всего получаются для тех планет, у которых есть спутники, и именно из движений спутников вокруг планет. Из вышеприведенной (см. § 3) формулы следует, что величина отношения пропорциональна сумме взаимно тяготеющих масс m1 и m2; исходя из этого, можно определить отношение масс различных планет и Солнца. Напр., Земля с Луною движутся вокруг Солнца на расстоянии, которое прибл. в 389 раз больше среднего расстояния от Земли до Луны, и время обращения Земли с Луною вокруг Солнца прибл. 365 дней, а Луны вокруг Земли 27,3 дн.; отсюда: масса (Солнце + Земля + Луна) больше массы (Земля + Луна) в Шаблон:Дробь2:Шаблон:Дробь2, т. е. в 329.000 раз; значит, масса (Земля + Луна) значительно меньше массы Солнца, и мы можем принять, что масса Солнца в 329 тыс. раз больше массы (Земля + Луна). Из других, более сложных явлений и соображений (которых по их сложности мы здесь не касаемся) можно определить, что масса Земли прибл. в 80 раз больше массы Луны; значит, масса Солнца прибл. в 333 тыс. раз больше массы одной Земли. Подобным же образом для каждой планеты, имеющей спутника, можно вычислить, во сколько раз ее масса меньше массы Солнца. Массы планет, у которых спутников не найдено (Меркурий и Венера) можно определить только гораздо более сложным путем, а именно, на основании учета тех возмущений, которые они оказывают на движение либо других планет, либо комет, в особенности тех комет, которые проходят недалеко от них; напр., масса Меркурия определяется в исследовании движения кометы Энке, которая заходит внутрь орбиты Меркурия и иногда проходит близко от него. Массы малых планет и комет так малы, что притяжение, оказываемое ими на другие небесные тела, до сих пор не обнаружено наблюдениями.
7. Как указано ранее, равнодействующая притяжений, которые оказывают частицы одного тела на частицы другого, вообще говоря, не проходит через центр тяжести последнего тела, и потому ее действие равносильно совокупному действию такой же по величине и направлению силы, приложенной в центре тяжести, и действию некоторой пары сил. Эта пара сил влияет на характер вращения тела (предполагаемого абсолютно твердым) около его центра тяжести, непрерывно изменяя направление оси вращения и скорость вращения. В астрономии это обстоятельство имеет особенно важное значение применительно к Земле, с которой мы наблюдаем все движения во вселенной, и движение которой самой мы должны знать возможно точнее, чтоб принять его во внимание при исследовании движения других небесных тел. Вследствие того, что Земля не точный шар, а имеет форму сфероида, равнодействующая сил притяжения какого-либо внешнего тела не проходит через ее центр тяжести, и поэтому возникает пара сил, стремящаяся изменить ее вращение. Заметное влияние при этом оказывают лишь Солнце и Луна; массы планет слишком малы, а расстояния их от Земли слишком велики, чтоб их влияние могло быть заметным; действие Луны, несмотря на ее малую массу, вдвое с лишком превосходит действие Солнца, именно потому, что она значительно ближе к Земле, чем Солнце. В каждый момент времени пара сил, получающаяся, напр., от Луны, стремится повернуть земной сфероид около того диаметра его экватора, который в этот момент перпендикулярен к линии, соединяющей центр Земли с центром Луны, и в такую сторону, чтоб земной экватор совпал с плоскостью орбиты Луны; но по теореме механики, по причине вращения Земли около оси никакого поворота около этого диаметра не происходит, а напротив, ось вращения Земли стремится совпасть с указанным диаметром экватора, и таким образом возникает принужденное перемещение земной оси в пространстве; подобным же образом действует и Солнце; в результате получается то движение земной оси в пространстве, которое известно под именем прецессии и [[../Нутация|нутации]] (см.). По существу дела такое движение оси вращения Земли, возникающее от того, что внешняя сила стремится повернуть Землю около диаметра ее экватора, совершенно аналогично с движением т. наз. гироскопа (волчек в оправе), подвешенного на нитке за верхний конец так, что ось вращения его не вертикальна; если волчек вертится, то эта ось описывает конус около вертикальной линии вследствие того, что сила тяжести стремится повернуть волчек около горизонтальной линии; в обыкновенном волчке, без оправы, опирающемся на столь, движение с внешней стороны похоже, но динамически сложнее. — В небесной механике выводятся точные формулы, устанавливающие скорость движения земной оси и ее положение в пространстве в любой момент времени в зависимости от видимого движения Луны и Солнца.
8. При рассмотрении вышеуказанных вопросов небесные тела рассматриваются как абсолютно твердые; в действительности этого не бывает; все тела более или менее сжимаемы, некоторые находятся хотя отчасти в капельно-жидком состоянии, либо в газообразном; кроме того, те из них, которые теперь, можно думать, отвердели или, по крайней мере, покрылись корой, когда-то были в капельно-жидком или газообразном состоянии. Эти соображения вызывают ряд задач небесной механики, вообще говоря, более сложных и трудных для исследования, чем вышеуказанные. Таковы вопросы о форме небесных тел, которая зависит от условий их образования, их вращения и действия на них других близких тел; о движении двух тел, находящихся в жидком или газообразном состоянии вокруг общего центра тяжести; о движении жидких масс на поверхности более или менее твердого тела (приливы и отливы на Земле); вопросы космогонического характера: о переходе небесных тел из одного состояния в другое, о движении их при иных условиях, чем те, при которых мы их теперь наблюдаем; вопросы о роли в мироздании иных сил, кроме силы взаимного притяжения по закону Ньютона, и т. под. вопросы. — Для подробного ознакомления с методами и результатами исследований в небесной механике необходимо основательное знание высшей математики и механики. Основным руководством в настоящее время служит: F. Tisserand, „Traité de mécanique céleste“, 4 т.; краткий курс для общего ознакомления с Н. м: F. Moulton, „An introduction to celestial mechanics“.