ЭСБЕ/Голоморфная функция

Голоморфная функция. — Функция $f(x)$ комплексного переменного х называется Г., если она не обращается в бесконечность ни при каких конечных значениях независимого переменного х. Простейшая функция, обладающая таким свойством, есть функция целая $\mathrm{A}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{C}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\dots }\mathrm{+}\mathrm{H}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{K};$ отсюда и происходит название Г. функции (Шаблон:Lang целый, Шаблон:Lang вид). Противополагаются Г. функциям — функции мероморфные (Шаблон:Lang, часть, дробь), имеющие характер дробных функций $\frac{A{x}^n+B{x}^{n-1}+C{x}^{n-2}+\dots +Hx+K}{A_1{x}^m+B_1{x}^{m-1}+C_1{x}^{m-2}+\dots +H_{1}x+K_1},$ могущих обращаться в бесконечность при тех значениях x, при которых обращается в нуль знаменатель ${\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\mathrm{+}{\mathrm{B}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}\mathrm{-}\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\dots }\mathrm{+}{\mathrm{H}}_{\mathrm{1}}\mathrm{x}\mathrm{+}{\mathrm{K}}_{\mathrm{1}}.$

Как пример функций Г. можно указать функцию показательную $e^x$ и функции тригоно­метрические $\sin x,$ $\cos x.$ — Функция $\mathrm{t}\mathrm{g}x$ и функции эллиптические $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{m}x,$ $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}x,$ суть функции мероморфные, ибо, напр., $\mathrm{t}\mathrm{g}x$ обращается в бесконечность при $x=(2n+1)\frac{\pi }{2}.$