ЭСБЕ/Гиперболические функции

Гиперболические функции. — По аналогии с тригонометрическими функциями $\sin x$, $\cos x$, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул $\sin x=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}$, $\cos x=\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}$ (где е есть основание нэперовых логарифмов, a $i=\sqrt{-1}$); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции $\mathrm{sinhyp},x$, $\mathrm{coshyp}x$. Эти функции определяются при помощи уравнений $\mathrm{sinhyp}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$ $\mathrm{coshyp}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$ Шаблон:Inline float Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. [[../Гиперболы|Гипербола]]), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z. Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора $=z=\frac{1}{2}R\cdot \stackrel{⌣}{AB},$ но $R=1;$ CD для круга будет $\sin 2z,$ a OD будет $\cos 2z.$ Шаблон:Inline float Подобным же образом для гиперболы OD будет $\mathrm{coshyp}2z,$ a CD будет $\mathrm{sinhyp}2z.$ Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде $x^2+y^2=1,$ а уравнение гиперболы в виде $x^2-y^2=1;$ отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение ${\mathrm{coshyp}}^{2}x-{\mathrm{sinhyp}}^{2}x=1,$ аналогичное с тригонометрическим ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$ Кроме того, можно вводить функцию $\mathrm{tghyp}x=\frac{\mathrm{sinhyp}x}{\mathrm{coshyp}x}.$ Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами: $\mathrm{sinhyp}(x+y)=\mathrm{sinhyp}x\times \mathrm{coshyp}y+\mathrm{coshyp}x\times \mathrm{sinhyp}y$ и $\mathrm{coshyp}(x+y)=\mathrm{coshyp}x\times \mathrm{coshyp}y-\mathrm{sinhyp}x\times \mathrm{sinhyp}y.$