БСЭ1/Гипоциклоиды и эпициклоиды

Шаблон:БСЭ1 ГИПОЦИКЛОИДЫ И ЭПИЦИКЛОИДЫ, общее название кривых, описываемых произвольной точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной окружности. Если касание обеих окружностей внутреннее, то соответствующие Шаблон:Lfloat кривые называются Шаблон:Razr2, а если оно внешнее, — то [[БСЭ1/Эпициклоиды|Шаблон:Razr2]]. Г. и э. принадлежат к числу так называемых Шаблон:Lsafe (см.) и имеют важные приложения в теории механизмов.

Если в начале движения точка $M$, описывающая Г., занимает положение $A$ (см. рис.), то во всякий момент движения дуга $AN$ равна дуге $MN$ (это геометрическое выражение того, что движение происходит без скольжения). Параметром, определяющим данную Г., является отношение $m$ угла $AON$ к углу $NQM$, численно рапное обратному отношению радиусов обеих окружностей; это отношение имеет отрицательное значение, когда касание внутреннее, и положительное, когда касание внешнее. Т. о., Г. соответствуют отрицательным, эпициклоиды — положительным значениям $m$. При $m=0$ , если предположить, что с приближением $m$ к нулю радиус неподвижной окружности а становится бесконечно большим (окружность превращается в прямую), получаем Шаблон:Lsafe (см.) при $m=\mathrm{\infty }$, когда подвижная окружность обращения в прямую, получаем эвольвенту круга (см. Шаблон:Lsafe). Частным случаем эпициклоиды является также Шаблон:Lsafe (см.), для которой $m=1$. При $m=-\frac{1}{2}$, Г. обращается в прямую, и каждая точка движется по диаметру неподвижной окружности; этим иногда пользуются при конструировании зубчатых сцеплений для превращения кругового движения в прямолинейное (например в некоторых типах печатных машин). Как во всех рулеттах, нормаль $M{N}^{\prime }$ всегда проходит через мгновенную точку касания $N$, и, стало быть, прямая $ML$ есть касательная, но замечательное свойство гипоциклоидов и эпициклоидов состоит в том, что точки $M$ и $C$ (центр кривизны) гармонически сопряжены с точками $N$ и $N^{\prime }$, т. е. центр кривизны в каждой точке $M$ лежит на поляре этой точки относительно неподвижной окружности. Из этого следует, что он лежит на том из диаметров неподвижной окружности, к-рый проходит через точку $M^{\prime }$, диаметрально противоположную точке $M$.