БСЭ1/Интегралы уравнений движения

Шаблон:БСЭ1 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (механ.). И. у. д. обычно называют такие соотношения между мгновенными значениями величин, определяющих состояние движения, к-рые остаются неизменными во время движения (для механических систем величинами, определяющими состояние движения, являются координаты положения и составляющие скорости). В аналитической механике различают первые И. у. д., дающие соотношение между скоростями, координатами и временем, от вторых И. у. д., выражающих связь координат системы со временем. И. у. д. получаются в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений движения.

Например, для научения движения одной материальной точки (центра масс) при задании действующих сил и массы необходимо решать следующую систему ур-ий:

Шаблон:NumBlk

Шаблон:Noindent

x_{i} = F_{i} (t, C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}, C_{6}), (i = 1, 2, 3)

Шаблон:Noindent

Одним из наиболее важных И. у. д. классической механики является интеграл энергии, гласящий, что механическая энергия изолированной системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, есть величина постоянная. В зависимости от того, допускает или не допускает система интеграл энергии, ее называют консервативной (см. Шаблон:Lsafe, Шаблон:Lsafe) или неконсервативной. Ни одна макроскопическая система не является строго консервативной; работа всех машин и приборов сопровождается трением, в силу чего часть механической энергии пере-ходит в теплоту и консервативность нарушается. Далее часть энергии может перейти в другие, не рассматриваемые задачей виды энергии. Наконец, ни одна система в мире не является строго изолированной; поэтому для получения ответа на тот или иной вопрос нам приходится идеализировать рассматриваемые системы, считая их консервативными, — это возможно всегда, когда за интересующее нас время движение системы мало затухает в силу трения. Для изолированной механической системы, т. е. системы, на к-рую не действуют внешние силы (и в к-рой внутренние силы удовлетворяют закону равенства действия противодействию), кроме интеграла энергии, известны еще шесть фундаментальных интегралов; три интеграла сохранения количества движения (или скорости) центра тяжести и три интеграла площадей, выражающие постоянство трех составляющих вектора момента количества движения. Математическая формулировка указанных И. у. д. следующая: 1. Интеграл энергии:

\sum \frac{m_{i} (υ_{x i}^{2} + υ_{y i}^{2} + υ_{z i}^{2})}{2} + V = Const;

Шаблон:Noindent

2. Интегралы сохранения движения центра тяжести:

\sum m_{i}, υ_{x i} = Const,

\sum m_{i}, υ_{y i} = Const,

\sum m_{i}, υ_{z i} = Const .

3. Интегралы сохранения момента количества движения:

\sum m_{i} (υ_{i x} y - υ_{i y} x_{i}) = Const,

\sum m_{i} (υ_{i y} z - υ_{i x} y_{i}) = Const,

\sum m_{i} (υ_{i z} x - υ_{i x} z_{i}) = Const .

Шаблон:Noindent

Для одной материальной точки, движущейся в поле центральной силы (т. е. силы, направленной к одному центру), момент количества движения также сохраняется. — Интеграл момента количества движения называют также и интегралом площадей. При его сохранении траекторией точки будет плоская кривая, и радиус-вектор движущейся точки будет описывать площадь, пропорциональную времени. В полярных координатах интеграл площадей (для одной точки) представляется в форме $r^{2} \frac{d φ}{d t}$ ( $r$ — радиус-вектор, $\frac{d φ}{d t}$ — угловая скорость). Интеграл площадей имеет существенное значение в теории движения планет.

Знание И. у. д. облегчает задачу исследования движения; так, если состояние системы определяется $n$ величинами и известно $m$ интегралов, то нам достаточно определить только ( $n - m$ ) неизвестных, остальные неизвестные можно определить из интегралов. И. у. д. могут, конечно, иметь место не только для чисто механических систем.

Лит.: Шаблон:Razr Е. Т., Аналитическая динамика, пер. с англ. И. Г. Малкина, М. — Л., 1937.

БСЭ1/Интегралы уравнений движения

Навигация

Поиск