Просмотр кода страницы Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II

{{Отексте
|АВТОР= [[Николай Алексеевич Умов]] (1846—1915)
|НАЗВАНИЕ= Уравнения движения энергии в телах
|ПОДЗАГОЛОВОК= Уравнения движения энергии в различных телах
|ЧАСТЬ= Часть II
|ДАТАСОЗДАНИЯ= 1874
|ДАТАПУБЛИКАЦИИ= 1874
|ИСТОЧНИК={{книга|автор=Умов Н. А.|заглавие=Избранные сочинения|ответственный=А. С. Предводителев|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Umov1950ru.djvu|место=М.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1950|страницы=151—156|страниц=574|тираж=5000}}
|ДРУГОЕ=докторская диссертация
|ВИКИПЕДИЯ=
|ИЗОБРАЖЕНИЕ=
|СОДЕРЖАНИЕ=
|ПРЕДЫДУЩИЙ= [[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I|Часть I]] 
|СЛЕДУЮЩИЙ= [[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/III|Часть III]]
|КАЧЕСТВО= 1
}}

=== II. Уравнения движения энергии в различных телах ===
<div class="indent">

'''§ 4. Уравнения движения энергии в твёрдых телах постоянной упругости.''' Означим через u, v, w перемещения по осям прямоугольных координат центра тяжести элемента объёма, через <math>p_{xx}</math>, <math>p_{yy}</math>, <math>p_{zz}</math> — нормальные и через <math>p_{xy}</math>, <math>p_{yz}</math>, <math>p_{xz}</math> — тангенциальные силы упругости, действующие на стороны бесконечно малого параллелепипеда (причём натяжения принимаются положительными, а давления отрицательными), и через <math>\rho</math> — плотность в какой-нибудь точке среды. Полагая, далее,
{{eqc|<math>\delta u = \frac{du}{dt}=u',\quad\delta v = \frac{dv}{dt}=v',\quad\delta w = \frac{dw}{dt}=w',</math>|8}}
мы найдём следующее выражение закона сохранения энергии для всего упругого тела:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
\iiint\frac{\rho}{2}\delta\left(u'^2+v'^2+w'^2\right)\,d\omega + \iiint\left[p_{xx}\frac{\partial\delta u}{\partial x} + p_{yy}\frac{\partial\delta v}{\partial y} + p_{zz}\frac{\partial\delta w}{\partial z}\right. + \\
+ \left. p_{yz}\left(\frac{\partial\delta v}{\partial z} + \frac{\partial\delta w}{\partial y}\right) + p_{xz}\left(\frac{\partial\delta w}{\partial x} + \frac{\partial\delta u}{\partial z}\right) + p_{xy}\left(\frac{\partial\delta u}{\partial y} + \frac{\partial\delta v}{\partial x}\right)\right]\,d\omega - \\
- \iint\left\{\delta u\left[p_{xx}\cos(nx) + p_{xy}\cos(ny) + p_{xz}\cos(nz)\right]\right. + \\
+ \delta v\left[p_{xy}\cos(nx) + p_{yy}\cos(ny) + p_{yz}\cos(nz)\right] + \\
+ \left. \delta w\left[p_{xz}\cos(nx) + p_{yz}\cos(ny) + p_{zz}\cos(nz)\right]\right\}\,d\sigma = 0
\end{matrix}
</math>|9}}
Первые два тройных интеграла представляют приращение энергии, отнесённое к единице времени, во всей упругой среде. Двойной интеграл распространяется на всю поверхность среды и представляет работу внешних давлений. Мы опускаем действие внешних сил на элементы упругой среды. Обращая внимание на значение величин <math>\delta u</math>, <math>\delta v</math> и <math>\delta w</math> по формуле ([[#eq8|8]]), мы замечаем, что двойной интеграл выражения ([[#eq9|9]]) преобразуется в следующий тройной интеграл:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
\iiint\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(p_{xx}u' + p_{yx}v' + p_{zx}w'\right)\right. + \\
+ \frac{\partial}{\partial y}\left(p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'\right) + \\
+ \left.\frac{\partial}{\partial z}\left(p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'\right)\right\}\,d\omega
\end{matrix}
</math>|10}}
Так как первые два тройных интеграла выражения ([[#eq9|9]]) тождественны с первым тройным интегралом выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]), то двойной интеграл, входящий в выражение ([[#eq9|9]]), взятый с тем знаком, с которым он входит в это выражение, или тождественный с ним тройной интеграл ([[#eq10|10]]), взятый с отрицательным знаком, должен быть тождествен со вторым тройным интегралом, входящим в выражение ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]); следовательно, подинтегральная функция тройного интеграла ([[#eq10|10]]), взятая с отрицательным знаком, должна быть тождественна подинтегральной функции второго тройного интеграла выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]), или, что всё равно, второй части уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]). Это заключение легко поверяется при помощи основных уравнений упругости, дающих возможность преобразовать сумму подинтегральных функций первых двух тройных интегралов, входящих в выражение ([[#eq9|9]]), тождественную с \frac{\partial E}{\partial t} , в отрицательную подинтегральную функцию выражения ([[#eq10|10]]). Из тождества этой последней со второй частью уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]) вытекают следующие равенства:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-El_x & = & p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w', \\
-El_y & = & p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{uz}w', \\
-El_z & = & p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w',
\end{matrix}
\right\}</math>|11}}
откуда заключаем: ''количество энергии, протекающее через бесконечно малый плоский элемент в бесконечно малое время, равно отрицательной работе сил упругости, действующих на этот элемент.''

Найденные выражения ([[#eq11|11]]) представляют связь законов движения энергии с законами частичных движений твёрдого тела постоянной упругости. К правым частям этих выражений не прибавлены функции, зависящие только от координат <math>(y, z)</math>, <math>(z, x)</math>, <math>(x, y)</math>, ибо левые части должны обращаться в нуль, когда <math>u' = v' = w' = 0</math>.

'''§ 5.''' Для выяснения найденных нами заключений приложим формулы ([[#eq10|10]]) к определению скорости распространения в упругой среде плоских волн с продольными и поперечными колебаниями.

Рассмотрим колебания продольные. Пусть несущие их плоские волны перпендикулярны к оси <math>x</math>. Следовательно,
{{eqc|<math>v = 0,\qquad w = 0</math>|12}}
Положим, кроме того,
{{eqc|<math>u = A\cos\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x}{\Omega}\right)</math>|13}}
где <math>\Omega</math> есть искомая скорость распространения продольных колебаний. Пользуясь выражениями сил упругости, данными Ламе, мы имеем в нашем случае:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
p_{xx} = (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{yz} = 0, \\
p_{yy} = \lambda\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{xy} = 0, \\
p_{zz} = \lambda\frac{\partial u}{\partial x}, & p_{xz} = 0.
\end{matrix}
\right\}</math>|14}}
Кроме того, мы имеем:
{{eqc|<math>\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + p_{xx}\frac{\partial\frac{\partial u}{\partial t}}{\partial x}</math>|15}}
Интегрируя это выражение по времени, имеем:
{{eqc|<math>E = \frac{\rho}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\lambda + 2\mu}{2}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2</math>|16}}
Вставляя сюда величину <math>u</math>, находим:
{{eqc|<math>E = \frac{2\pi^2A^2}{T^2}\left(\rho + \frac{2\mu+\lambda}{\Omega^2}\right)\sin^2\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x}{\Omega}\right)</math>|17}}
С другой стороны, подставляя ([[#eq13|13]]) и ([[#eq14|14]]) в ([[#eq11|11]]), находим:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-El_x = - (\lambda + 2\mu)\frac{4\pi^2A^2}{\Omega T^2}\sin^2\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{\Omega}\right), \\
-El_y = 0, \\
-El_z = 0.
\end{matrix}
\right\}</math>|18}}
Последние два соотношения дают <math>l_y = 0</math>, <math>l_z = 0</math>. Следовательно, <math>l_x = \Omega</math>, и первое из соотношений ([[#eq18|18]]) по сокращении общих факторов даёт соотношение:
{{eqc|<math>\Omega\left(\rho + \frac{2\mu + \lambda}{\Omega^2}\right) = \frac{2(\lambda + 2\mu)}{\Omega},</math>|19}}
откуда получается известный результат:
{{eqc|<math>\Omega^2 = \frac{\lambda + 2\mu}{\rho}</math>|20}}
В случае распространения плоской волны с колебаниями поперечными мы нашли бы точно так же известное выражение для скорости распространения поперечных колебаний.

Выражения ([[#eq11|11]]) дают возможность найти общие соотношения между формой волн, несущих продольные или поперечные колебания, и движениями частиц упругого тела.

Известно, что скорость распространения тех или других волн постоянна и что волны, исходящие из одной и той же поверхности сотрясения, имеют общие нормали. Означая через <math>c</math> скорость распространения волны, мы имеем, следовательно,
{{eqc|<math>l_x = \frac{c\frac{\partial B}{\partial x}}{\Delta_1 B},\quad l_y = \frac{c\frac{\partial B}{\partial y}}{\Delta_1 B},\quad l_z = \frac{c\frac{\partial B}{\partial z}}{\Delta_1 B},</math>|21}}
где
{{eqc|<math>B = const</math>|22}}
есть уравнение какой-нибудь волновой поверхности, а <math>\Delta_1 B</math> — её дифференциальный параметр первого порядка. Мною было показано («[[Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости (Умов)|Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости]]»), что, выбирая за параметр <math>B</math> волны отрезок луча между некоторым начальным положением волны и последующим, мы имеем:
{{eqc|<math>\Delta_1 B = 1</math>|23}}

Принимая последнее выражение и подставляя ([[#eq21|21]]) в ([[#eq11|11]]), находим:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-Ec\frac{\partial B}{\partial x} & = & p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w', \\
-Ec\frac{\partial B}{\partial y} & = & p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w', \\
-Ec\frac{\partial B}{\partial z} & = & p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'.
\end{matrix}
\right\}</math>|24}}
Эти выражения показывают, что
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-\frac{p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w'}{Ec}, \\
-\frac{p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'}{Ec}, \\
-\frac{p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'}{Ec}
\end{matrix}
\right\}</math>|25}}
суть выражения косинусов углов нормали в какой-нибудь точке волны с осями координат. Так как по закону общих нормалей все элементы нормалей, проведённые в соответствующих точках одной и той же волны в различных её положениях, лежат на одной прямой, носящей название луча, то выражения ([[#eq25|25]]) остаются неизменными на протяжении одного и того же луча.

Выражения ([[#eq25|25]]) показывают также, что, воображая себе в какой-нибудь точке луча линию, равную по величине произведению из энергии на скорость её распространения, величины
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-\left(p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w'\right), \\
-\left(p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'\right), \\
-\left(p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'\right)
\end{matrix}
\right\}</math>|26}}
представят ее проложения на оси координат.

Возвышая выражения ([[#eq24|24]]) в квадрат и складывая, находим:
{{eqc|<math>E^2c^2 = \left(p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w'\right)^2 + \left(p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'\right)^2 + \left(p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'\right)^2</math>|27}}

Умножая выражения ([[#eq24|24]]) соответственно на <math>l_x</math>, <math>l_y</math>, <math>l_z</math>, складывая и обращая внимание на соотношения ([[#eq21|21]]), находим следующее выражение:
{{eqc|<math>E^2c^2 + \left(p_{xx}u' + p_{xy}v' + p_{xz}w'\right)l_x + \left(p_{xy}u' + p_{yy}v' + p_{yz}w'\right)l_y + \left(p_{xz}u' + p_{yz}v' + p_{zz}w'\right)l_z = 0</math>|28}}

Величина <math>Ec^2</math> может быть названа двойной живой силой движения энергии.

'''§ 6. Закон энергии для волновых поверхностей произвольного вида.''' Вставляя в уравнение ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]) выражения ([[#eq21|21]]) и принимая в соображение ([[#eq23|23]]), найдём:
{{eqc|<math>\frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left(E\frac{\partial B}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(E\frac{\partial B}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(E\frac{\partial B}{\partial z}\right) = 0</math>|29}}
Это соотношение даёт связь между энергией и формой волновой поверхности, которая приводится по отношению к энергии к дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка. Мы находим, раскрывая выражение ([[#eq29|29]]):
{{eqc|<math>\frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} + E\Delta_2 B + \frac{\partial E}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial x} + \frac{\partial E}{\partial y}\frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial E}{\partial z}\frac{\partial B}{\partial z} = 0</math>|30}}

Здесь <math>\Delta_2</math> означает дифференциальный параметр второго порядка.

Введём ортогональные координаты, причём параметры двух систем поверхностей, ортогональных между собой и к волновой поверхности <math>B</math>, означим через <math>\rho_1</math>, <math>\rho_2</math>. Принимая во внимание условия ортогональности, мы представим выражение ([[#eq30|30]]) в следующем виде:
{{eqc|<math>\frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t} + E\Delta_2 B + \frac{\partial E}{\partial B} = 0</math>|31}}
Это выражение интегрируется при помощи совместных дифференциальных уравнений:
{{eqc|<math>- \frac{dE}{E\Delta_2 B} = cdt = dB</math>|32}}
Означая через <math>f</math> произвольную функцию, находим:
{{eqc|<math>E = e^{\int\Delta_2 B dB}f(ct - B, \rho_1, \rho_2)</math>|33}}
Таково общее выражение энергии для колебаний ''в одной и той же точке среды'', несомых волной произвольного вида <math>B</math>. <math>\int\Delta_2 B\,dB</math> можно взять в общем виде, как показано будет ниже [формула ([[#eq46|46]])]. Рассмотрим случай волны цилиндрической. Пусть ось цилиндра параллельна оси <math>z</math> и координаты точки её пересечения с плоскостью <math>xy</math> суть <math>a, 0, 0</math>. Мы имеем в данном случае:
{{eqc|<math>B = r,\quad r^2 = (x-a)^2 + y^2</math>|34}}
Следовательно,
{{eqc|<math>\Delta_2 B = \frac{1}{r}</math>|35}}
и выражение ([[#eq33|33]]) даёт нам:
{{eqc|<math>E = \frac{1}{r}f(ct-r, z, \varphi)</math>|36}}
где \varphi есть параметр плоскостей, проходящих через ось цилиндра.

Для волны сферической, центр которой имеет координаты <math>a, b, c</math>, мы имеем:
{{eqc|<math>B = r,\quad r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2</math>|37}}
Отсюда
{{eqc|<math>\Delta_2 B = \frac{2}{r}</math>|38}}
и выражение ([[#eq33|33]]) даёт:
{{eqc|<math>E = \frac{1}{r^2}f(ct - r, \psi, \varphi)</math>|39}}
Подобные результаты были известны для живой силы колебательных движений; здесь они даны для всей энергии движений, не определяя в подробности его формы.

Из выражения ([[#eq33|33]]) мы можем заключить о законе энергии в точке волны по мере её движения вместе с волной. Я предпочитаю, однако, вывести этот закон непосредственно из основного уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I'|I']]), Обращая внимание на указанный выше выбор параметра <math>B</math> волны, мы имеем:
{{eqc|<math>B = ct + c_1</math>|40}}
где <math>c</math> и <math>c_1</math> суть постоянные.

Подставляя в уравнение ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I'|I']]) величины ([[#eq21|21]]) и принимая в соображение ([[#eq23|23]]), находим:
{{eqc|<math>\frac{1}{E}\frac{dE}{dt} + c\Delta_2 B = 0</math>|41}}
откуда
{{eqc|<math>E = - e^{c\int\Delta_2 B\,dt}f(\rho_1, \rho_2)</math>|42}}
Из ([[#eq40|40]]) имеем:
{{eqc|<math>cdt = dB</math>|43}}
Кроме того, означая через <math>h</math>, <math>h_1</math>, <math>h_2</math> дифференциальные параметры первого порядка волновой поверхности и ортогональных к ней поверхностей <math>\rho_1</math>, <math>\rho_2</math>, мы имеем (Lame, Lecons sur les coordonnees curvilignes, 1859):
{{eqc|<math>\Delta_2 B = hh_1 h_2\frac{d\frac{h}{h_1 h_2}}{dB}</math>|44}}
Замечая, что в нашем случае <math>h = 1</math>, имеем:
{{eqc|<math>\Delta_2 B = -\frac{d\ln h_1 h_2}{dB}</math>|45}}
Подставляя ([[#eq43|43]]) и ([[#eq45|45]]) в ([[#eq42|42]]) и производя интеграцию, находим:
{{eqc|<math>E = h_1 h_2 f(\rho_1, \rho_2)</math>|46}}
Но элемент объёма будет, так как <math>h = 1</math>,
{{eqc|<math>d\omega = \frac{dB\,d\rho_1\,d\rho_2}{h_1 h_2}</math>|47}}
Умножая выражение ([[#eq46|46]]) на ([[#eq47|47]]), находим:
{{eqc|<math>E \cdot d\omega = f(\rho_1, \rho_2)\,dB\,d\rho_1\,d\rho_2</math>|48}}
Так как во всё время движения энергии вдоль одного и того же луча величины <math>\rho_1</math> и <math>\rho_2</math> остаются неизменными, то из выражения ([[#eq48|48]]) заключаем, что энергия целиком переносится волной от одной точки луча к другой.

'''§ 7.''' Я закончу настоящий отдел несколькими общими соображениями относительно законов движения энергии, не ограничиваясь случаем, когда она распространяется во всех направлениях с постоянной скоростью. Вообразим себе внутри упругого тела бесконечно малый плоский элемент, нормаль коего обозначим через <math>n</math>. Пусть сила упругости, действующая на элемент, будет <math>P</math>. Мы имеем по известным формулам теории упругости соотношения:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
P\cos(Px) & = & p_{xx}\cos(nx) + p_{xy}\cos(ny) + p_{xz}\cos(nz), \\
P\cos(Py) & = & p_{xy}\cos(nx) + p_{yy}\cos(ny) + p_{yz}\cos(nz), \\
P\cos(Pz) & = & p_{xz}\cos(nx) + p_{yz}\cos(ny) + p_{zz}\cos(nz).
\end{matrix}
\right\}</math>|49}}
Умножая эти выражения на <math>u'</math>, <math>v'</math>, <math>w'</math> и складывая, находим:
{{eqc|<math>Pi\cos(iP) = - Ee\cos(en)</math>|50}}
Здесь <math>i</math> есть скорость центра рассматриваемого нами бесконечно малого плоского элемента, <math>e</math> — скорость движения энергии в этом центре. Означая через <math>i_p</math> слагающую скорости элемента по направлению силы упругости и через <math>l_n</math> — слагающую скорости энергии по нормали к элементу, выражение ([[#eq50|50]]) может быть написано в следующем виде:
{{eqc|<math>Pi_p = - El_n</math>|51}}
Мы видим из этого выражения, что сила упругости, взятая с отрицательным знаком, пропорциональна количеству протекающей через элемент в единицу времени энергии и обратно пропорциональна слагающей скорости частиц самого элемента по направлению силы упругости.

В каждой точке <math>M</math>. упругого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярных плоских элемента, испытывающих одни только нормальные силы упругости. Воображая себе в точке <math>M</math> оси прямоугольных координат проведёнными таким образом, что плоскости координат параллельны указанным трём плоским элементам, мы имеем по формуле ([[#eq51|51]]):
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-El_x & = & p_{xx}u', \\
-El_y & = & p_{yy}v', \\
-El_z & = & p_{zz}w'.
\end{matrix}
\right\}</math>|52}}
Выражения ([[#eq11|11]]), ([[#eq51|51]]) и ([[#eq52|52]]) показывают, что ''сумма из количества энергии, протекающей через произвольный плоский элемент, и работы сил упругости на элемент равна нулю''. Уравнение ([[#eq51|51]]), будучи справедливым для каждого плоского элемента внутри среды, имеет место на границах среды. Оно даёт, следовательно, возможность по давлению, испытываемому границами среды, определить количество входящей в неё энергии, зная при этом скорость движения частиц на границах. Точно так же, зная количество энергии <math>q</math>, входящей в среду в единицу времени, и зная скорость частиц на границах, мы можем определить давление или натяжение, соответствующее этому переходу. Заметим, что <math>q</math> имеет знак положительный, когда энергия выходит из тела, и отрицательный, когда энергия входит в тело. Следовательно, из ([[#eq51|51]]) мы находим:
{{eqc|<math>P = -\frac{q}{i_p}</math>|53}}
Если дано <math>q</math> и <math>P</math>, то найдём отсюда <math>i_p</math>; соотношение ([[#eq53|53]]) показывает именно, что скорость движения частиц тела на границе по направлению силы <math>P</math> равна частному из количества энергии, прошедшей через весьма малый плоский элемент, центр коего совпадает с частицей, и отнесённого к единице площади и времени, на давление или натяжение <math>P</math>.

Возьмём числовой пример. Пусть давление <math>P</math>, испытываемое элементом границы тела, нормально к его поверхности и в данный момент времени равно давлению атмосферы. Давление <math>P</math>, отнесённое на квадратный метр поверхности, есть 10 334 кг. Пусть количество энергии, протекающее в данный момент времени через бесконечно малый элемент поверхности, отнесённое к 1 сек. и к квадратному метру, есть 1 килограммо-метр в 1 сек. Тогда для данного момента скорость <math>i_p</math> движения частиц взятого элемента поверхности будет по формуле ([[#eq53|53]]):
<center><math>i_p = \frac{1}{10334}</math> м/сек = 0,096 мм/сек.</center>

Возьмём ещё другой пример. Положим, что теплота, сообщаемая упругому телу, заключается в энергии его частичных движений, удовлетворяющих уравнениям упругости. Положим, что температура 1 кг тела повышена на 1 °С в 1 сек. Означим плотность тела через <math>\partial</math>, его теплоёмкость под давлением атмосферы — через <math>\gamma</math> и положим, что тело имеет кубическую форму. Объём тела будет <math>\frac{1}{1000\partial}</math> м<sup>3</sup>, поверхность <math>s = 6\left(\frac{1}{1000\partial}\right)^{\frac{2}{3}}</math>; количество энергии, прошедшее в 1 сек. через 1 м поверхности, есть <math>\frac{\gamma\cdot 425}{s}</math> кгм. По формуле ([[#eq53|53]]) вычисляется средняя скорость <math>i_p</math> частиц его поверхности при давлении одной атмосферы, т. е. 10 344 кг/м<sup>2</sup>:
<center><math>i_p = 0{,}687 \cdot \gamma \cdot \partial^{\frac{2}{3}}</math> м/сек.</center>
Отсюда вычисляются:
<center>
{|
| железо
| width="100px" |
| 0,3 м/сек,
|-
| платина
| width="100px" |
|1,8 м/сек.
|}
</center>
Формула ([[#eq53|53]]) приводит нас еще к следующему заключению: ''скорости <math>i_p</math> граничных частиц всех упругих тел при одном и том же давлении или натяжении и при одном и том же количестве энергии, проходящем через них в бесконечно малый элемент времени, равны.''

'''§ 8. Уравнения движения энергии в телах жидких.''' Рассмотрим сначала жидкости, не обращая внимания на так называемое внутреннее трение частиц жидкости. Означая через <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> скорости движения частиц жидкости в одной и той же точке пространства, через <math>p</math> — давление и <math>\rho</math> - плотность, мы имеем следующие уравнения гидродинамики:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} & = & \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}, \\
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} & = & \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}, \\
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} & = & \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|54}}
Мы снова опускаем случай действия внешних сил на частицы жидкости. Кроме приведённых соотношений, мы имеем ещё следующие:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0, \\
\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|55}}
Умножая выражения ([[#eq54|54]]) соответственно на и <math>udt</math>, <math>vdt</math>, <math>wdt</math>, складывая, деля на <math>dt</math> и интегрируя для всего объёма среды, находим:
{{eqc|<math>\begin{matrix}
\iiint\frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u^2+v^2+w^2\right)\,d\omega + \frac{1}{2}\iiint\left[\rho u\frac{\partial}{\partial x}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right. + \\
+ \left.\rho v\frac{\partial}{\partial y}\left(u^2+v^2+w^2\right) + \rho w\frac{\partial}{\partial z}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]\,d\omega + \iiint\left(u\frac{\partial p}{\partial x} + v\frac{\partial p}{\partial y} + w\frac{\partial p}{\partial z}\right)\,d\omega = 0
\end{matrix}</math>|56}}
Первая часть этого выражения после интеграции по частям представится в виде:
{{eqc|<math>\begin{matrix}
\iiint\left\{\frac{\rho}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u^2+v^2+w^2\right) + \frac{u^2+v^2+w^2}{2}\frac{d\rho}{dt} - p\theta\right\}\,d\omega + \\
+ \iint\left[\rho\frac{\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2} + p\right]\left[u\cos(nx) + v\cos(ny) + w\cos(nz)\right]\,d\sigma = 0,
\end{matrix}</math>|57}}
где <math>d\sigma</math> есть элемент границ и <math>\theta</math> — кубическое расширение. Это выражение может быть написано ещё в таком виде:
{{eqc|<math>\begin{matrix}
\iiint\left[\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{\rho}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right\} - p\theta\right]\,d\omega + \\
+ \iint\left[\rho\frac{\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2} + p\right]\left[u\cos(nx) + v\cos(ny) + w\cos(nz)\right]\,d\sigma = 0,
\end{matrix}</math>|58}}
Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляет сумму изменений энергии во всех элементах пространства, занятого средой. Действительно, первый член подинтегральной функции тройного интеграла представляет изменение живой силы со временем в одном и том же элементе объёма среды; второй же член той же подинтегральной функции представляет изменение работы давлений в одном и том же элементе, взятое с надлежащим знаком. Отсюда следует, что двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) представляет количество энергии, входящее в среду через её границы. Следовательно, выражение ([[#eq58|58]]) представляет закон сохранения энергии для всей жидкой среды, и потому оно тождественно с уравнением ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]). Двойной интеграл уравнения ([[#eq58|58]]) должен быть тождествен с двойным интегралом уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]) и, следовательно, должен преобразовываться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]). Действительно, двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) может быть преобразован в тройной интеграл следующего вида:
{{eqc|<math>\begin{matrix}
\iiint\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left[u\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right]\right. + \\ +\frac{\partial}{\partial y}\left[v\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right] + \\ +\left.\frac{\partial}{\partial z}\left[w\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right]\right\}\,d\omega = 0,
\end{matrix}</math>|59}}
Подинтегральная функция, входящая в это выражение, представляет уже количество энергии, проникающей в единицу времени в один и тот же элемент объёма жидкости. Справедливость этого заключения может быть поверена непосредственно, преобразовывая подинтегральную функцию тройного интеграла выражения ([[#eq58|58]]) при помощи приведённых выше уравнений гидродинамики. Итак, подинтегральная функция выражения ([[#eq59|59]]) тождественна с подинтегральной функцией второго тройного интеграла выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]) или со второй частью основного уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]). Из этого тождества вытекают следующие соотношения между законами энергии и законами частичных движений жидких сред:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
-El_x & = & u\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right), \\
-El_y & = & v\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right), \\
-El_z & = & w\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right),
\end{matrix}
\right\}</math>|60}}
где <math>i</math> есть скорость движения частицы жидкости, т. е.
{{eqc|<math>i^2 = u^2 + v^2 + w^2</math>|61}}
Из выражений ([[#eq60|60]]) следует, означая через <math>c</math> скорость движения энергии, т. е.
{{eqc|<math>c^2 = l_x^2 + l_y^2 + l_z^2</math>|62}}
что
{{eqc|<math>Ec = i\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right)</math>|63}}
т. е. количество движения энергии равно произведению скорости движения жидкости на сумму гидростатического давления и живой силы. Деля каждое из уравнений ([[#eq60|60]]) на ([[#eq63|63]]), находим:
{{eqc|<math>\frac{l_x}{c} = \frac{u}{i},\ \frac{l_y}{c} = \frac{v}{i},\ \frac{l_z}{c} = \frac{w}{i};</math>|64}}
иными словами, направление движения энергии одинаково с направлением движения жидкости. Отсюда вытекает заключение, что внутри жидких тел невозможны такие формы движений, при которых направление движения частиц не совпадает с направлением движения энергии. Так, например, в жидких телах невозможно распространение волн с колебаниями поперечными. Выражение ([[#eq63|63]]) существует и на поверхности жидкости; подобно выражению ([[#eq53|53]]) оно даёт возможность вычислять скорости частиц у поверхности жидкости по давлению на этой поверхности и количеству энергии, входящей в тело.

'''§ 9. Случай несжимаемой жидкости.''' Для жидкости несжимаемой величина энергии равна живой силе движения частиц жидкости. Следовательно,
{{eqc|<math>E = \frac{\rho i^2}{2}</math>|65}}
Подставляя эту величину в выражение ([[#eq63|63]]), мы находим:
{{eqc|<math>i^2 - ic + \frac{2p}{\rho} = 0</math>|66}}
откуда
{{eqc|<math>c = i + \frac{2p}{\rho}</math>|67}}
и
{{eqc|<math>i = \frac{c}{2} \pm \sqrt{\frac{c^2}{4} - \frac{2p}{\rho}}</math>|68}}
Последнее выражение показывает нам, во-первых, что для всех форм движения, возможных внутри несжимаемой жидкости, подкоренная величина выражения ([[#eq68|68]]) должна оставаться положительной, т. е.
{{eqc|<math>\frac{c^2}{4} \gg \frac{2p}{\rho}</math>|69}}
Во-вторых, оно показывает, что всегда
{{eqc|<math>i < c</math>|70}}
Скорость <math>i</math> равна скорости <math>c</math> только при <math>p = 0</math>. Выражение ([[#eq69|69]]) даёт возможность определить минимум скорости движения энергии под данным давлением в несжимаемой жидкости. Этот минимум будет:
{{eqc|<math>c_m = \sqrt{\frac{8p}{\rho}}</math>|71}}
Означая через <math>n</math> число атмосфер, под давлением которых находится частица жидкости, через <math>\partial</math> — плотность жидкости относительно воды при 4 °С, принимая, далее, за единицу длины метр и за единицу времени секунду, мы находим:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
p = 10\,334\cdot n\ kg, \\
\rho = \frac{P}{g}\partial
\end{matrix}
\right\}</math>,|72}}
где <math>P</math> есть вес кубического метра воды при 4 °С, т. е. 1000 кг, и <math>g</math> — ускорение тяжести, равное приблизительно 10 м. Вставляя величины ([[#eq72|72]]) в ([[#eq71|71]]), находим:
{{eqc|<math>c = 28,752\sqrt{\frac{n}{\partial}}</math><big>м</big>|73}}
Следовательно, для воды наименьшая возможная скорость движения энергии в частях жидкости, находящихся под давлением одной атмосферы, есть 28,752 м. Формула ([[#eq73|73]]) показывает, что для жидкостей различной плотности минимум скорости энергии понижается с увеличением плотности; для одной и той же жидкости минимум скорости движения энергии повышается с увеличением давления.

Из выражения ([[#eq66|66]]) мы находим:
{{eqc|<math>-\frac{p}{\rho} = \frac{i(i-c)}{2}</math>.|74}}
Подставляя эту величину в уравнения гидродинамики ([[#eq54|54]]), мы приведём их к следующему виду:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
0 = 2\frac{\partial u}{\partial t} + v\zeta - w\eta + \frac{\partial ci}{\partial x}, \\
0 = 2\frac{\partial v}{\partial t} + w\xi - u\zeta + \frac{\partial ci}{\partial y}, \\
0 = 2\frac{\partial w}{\partial t} + u\eta - v\xi + \frac{\partial ci}{\partial z},
\end{matrix}
\right\}</math>|75}}
где
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
\frac{\partial v}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial y} = 2\xi, \\
\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial z} = 2\eta, \\
\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} = 2\zeta.
\end{matrix}
\right\}</math>|76}}
Величины <math>\xi</math>, <math>\eta</math> и <math>\zeta</math> представляют вращения элемента объёма около осей <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>. Если в жидкости вращательные движения не существуют, то выражения ([[#eq75|75]]) принимают вид:
{{eqc|<math>\left.
\begin{matrix}
0 = 2\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial x}, \\
0 = 2\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial y}, \\
0 = 2\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|77}}
Если <math>\varphi</math> есть потенциал скоростей, то
{{eqc|<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -\frac{ci}{2}</math>|78}}
т. е. отрицательная частная производная от потенциала скоростей по времени равна половине произведения скорости движения энергии на скорость движения частиц. Функция времени, которая должна быть прибавлена к выражению ([[#eq78|78]]), подразумевается под знаком <math>\varphi</math>.

'''§ 10. Уравнения движения энергии в жидкостях с трением.''' Более общие дифференциальные законы движения жидкостей получаются, как известно, принимая существование давлений, направленных косвенно к плоскому элементу внутри жидкости, стороны коего параллельны плоскостям координат; мы означим слагающие косвенных давлений, испытываемых тремя сторонами элемента, ближайшими к началу координат, через <math>p_{xx}</math>, <math>p_{yy}</math>, <math>p_{zz}</math>, <math>p_{xy}</math>, <math>p_{yz}</math>, <math>p_{zx}</math>; значение употреблённых здесь индексов известно. Мы имеем следующие дифференциальные уравнения с частными производными, предполагая, что внешние силы не действуют на элементы жидкости:
{{eqc|<math></math>|79}}
Кроме этих выражений, для трущихся жидкостей остаются в силе соотношения ([[#eq55|55]]).

Закон сохранения энергии для всей массы жидкости будет:
{{eqc|<math></math>|80}}
Интегрируя это выражение по частям, находим:
{{eqc|<math></math>|81}}
Простой интеграл, входящий в это выражение, представляет изменение энергии всей жидкой массы, отнесённое к единице времени; двойной же интеграл, распространённый на элементы поверхности жидкой массы, представляет количество энергии, входящей в жидкость извне. Этот двойной интеграл может быть представлен в форме тройного интеграла следующего вида:
{{eqc|<math></math>|82}}
Подинтегральная функция этого выражения представляет количество энергии, проникающее в один и тот же элемент объёма жидкости от смежных частей жидкости. Путём заключений, сходных с употреблёнными в предыдущих параграфах мы убедимся, что эта подинтегральная функция тождественна со второй частью основного уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]). Математическое выражение этого тождества представится следующими соотношениями:
{{eqc|<math></math>|83}}
Законы движения энергии представляют в данном случае средину между законами, имеющими место для тела упругого и для тела жидкого.

</div>

[[Категория:Уравнения движения энергии в телах (Умов)|II.]]