Просмотр кода страницы Квадратура круга (Перельман)/Глава 7

{{Отексте
| АВТОР          = [[Яков Исидорович Перельман]] (1882-1942)
| НАЗВАНИЕ       = Квадратура круга
| ЧАСТЬ          = {{SUBPAGENAME}}
| ДАТАСОЗДАНИЯ   =
| ДАТАПУБЛИКАЦИИ = 1941
| ИИСТОЧНИК       = {{книга|автор=Я. И. Перельман|заглавие=Квадратура круга|ссылка=http://one-book-13.ru/1604-dom-zanimatelnoj-nauki-perelman-ya-i-kvadratura-kruga-[1941-djvu-rus].html|место=Л.|издательство=Дом занимательной науки|год=1941|страниц=28}}
| ВИКИПЕДИЯ      = 
| ПРЕДЫДУЩИЙ     = {{Предыдущая глава|{{SUBPAGENAME}}}}
| СЛЕДУЮЩИЙ      = {{Следующая глава|{{SUBPAGENAME}}}}
| КАЧЕСТВО       = 
}}

== Ответы и Указания ==
'''1.''' Если радиус круга <math>R</math>, то площадь его <math>\pi R^2</math>, а длина окружности
<math>2\pi R</math>. Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга,
имеет сторону длиною <math>\frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}</math>. Площадь такого квадрата равна

<center><math>\left(\frac{\pi R}{2}\right)^2=\frac{\pi^2 R^2}{4}</math></center>

Отношение

<center><math>\frac{\pi^2 R^2}{4}:\pi R^2=0,785</math></center>

показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22%.

'''2.''' Из отношения

<center><math>\left(\frac89\cdot 2R\right)^2:\pi R^2</math></center>

легко установить, что изложенное в задаче правило даёт преувеличение примерно на 0,6%.

'''3.''' Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.

'''4.''' Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть
найдены помощью конечного числа математических операций.

'''5.''' Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем
гипотенузу длиною в <math>\sqrt{1+9}</math>, т.е. <math>\sqrt{10}</math> тех же единиц. Этот отрезок
приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это,
можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет,
например, прямоугольник со сторонами в 1 и <math>\frac12\sqrt{10}</math> единиц длины.

&lt;Рисунок 6&gt;

Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).

'''6.''' Сумма <math>\sqrt{2}+\sqrt{3}=1,414 + 1,732 = 3.146</math>. Зная, что при радиусе, равном
единице длины, <math>\sqrt{2}</math> есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), а <math>\sqrt{2}</math>
— сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный
длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.

'''7.''' Сумма <math>1,8 + \sqrt{1,8} = 1,8 + 1,342 = 3,142</math>. Для построения отрезка в
<math>1,8 + \sqrt{1,8}</math> единиц длины, надо уметь построить отрезок равный <math>\sqrt{1,8}</math>
единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между
отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее смотри решения предыдущих задач.

&lt;Рисунок 7&gt;

'''8.''' Так как выражение

<center><math>1\frac15+\frac35+\sqrt{\left(1\frac15\right)^2+\left(\frac35\right)^2}</math></center>

равно <math>1,8 + \sqrt{1,8}</math>, то задача является видоизменением предыдущей.

'''9.''' Семь верных цифр.

'''10.''' Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно
равна <math>\frac34</math> площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины.
Легко видеть, что здесь <math>\pi</math> принимается равным 3,15 — приближение достаточное для
многих практических целей.

[[Категория:Квадратура круга (Перельман)]]