Просмотр кода страницы Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/3

{{Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)|Теория гармонических центров}}{{КачествоТекста|75%}}
[[it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria de' centri armonici]]

{{§|11}} Пусть на прямой дано <math>n</math> точек <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> и полюс <math>o</math>. Пусть, далее, <math>m</math> — точка той же прямой, такая, что сумма всевозможных произведений, составленных из <math>n</math> отношений <math>\tfrac{ma}{oa}</math> по <math>r</math> сомножителей в каждом, равна нулю. Если обозначить эту сумму как <math>\sum \left( \tfrac{ma}{oa}\right)_r</math><ref>Иными словами,
: <math>\sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r = \sum\limits_{i_1, \dots, i_r} \frac{ma_{i_1}}{oa_{i_1}}\dots \frac{ma_{i_r}}{oa_{i_r}}</math></ref>, то точку <math>m</math> можно найти из уравнения:
{{eq|
:<math>\sum \left( \frac{ma}{oa}\right)_r=0</math>.|1}}
Используя тождество <math>ma = oa - om</math>, это уравнение можно записать как:
{{eq|
:<math>\sum \left( \frac{1}{om}-\frac{1}{oa}\right)_r=0</math>,|2}}
или, раскрывая скобки, как
{{eq|
:<math>
\begin{bmatrix}
  n \\
  r \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^r -
\begin{bmatrix}
  n-1 \\
  r-1 \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-1}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1 +
\begin{bmatrix}
  n-2 \\
  r-2 \\
\end{bmatrix}\left(\frac{1}{om}\right)^{r-2}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2 - \dots =0;
</math>|3}}
где символом <math>
\begin{bmatrix}
  n \\
  r \\
\end{bmatrix}
</math> обозначено число сочетаний <math>n</math> различных предметов по <math>r</math> в каждом сочетании ([[w:биномиальный коэффициент|биномиальный коэффициент]]).

Уравнение ([[#eq3|3]]) имеет степень <math>r</math> относительно <math>om</math> и поэтому дает <math>r</math> положений для точки <math>m</math>: такие <math>r</math> точек <math>m_1, \,m_2, \dots, m_r</math> называются ''{{Предмет|гармоническими центрами}}'' ({{lang-it|centri armonici}}) степени <math>r</math> системы точек <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>.<ref>{{Персона|Jonquières|Ж}}, {{lang|fr|Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. ([[w:fr:Journal de mathématiques pures et appliquées|Journal de mathématiques pures et appliquées]]. Série 2, Tome 2. 1857, p. 266)}}.</ref>

Когда <math>r= 1</math>, получается одна единственная точка <math>m</math>, которую рассматривал еще {{Персона|Понселе|П}} под названием ''центр средних гармонических''<ref>{{Персона|Poncelet|П}}, {{lang|fr|Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques.}} ([[w:de:Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die reine und angewandte Mathematik]], Bd. 3, 1828, p. 229).</ref>.

Если, кроме того, <math>n = 2</math>, то точка <math>m</math> оказывается гармонически сопряженной к точке <math>o</math> относительно пары точек <math>a_1, \, a_2</math> (§ [[../Ангармоническое отношение#4|4]]).<ref> В авторском экземпляре прибавлено след.: если же <math>n = 1</math>, то есть если данная система сводится к одной единственной точке, то она совпадает с гармоническим центром 1-ой степени относительно любого полюса. — Перев.</ref>

{{§|12}} Если уравнение ([[#eq1|1]]) умножить на <math>oa_1.a_2\dots oa_n</math> и поделить на <math>ma_1,\, ma_2, \dots, ... ma_n</math>, оно, очевидно, примет вид:
{{eq|
:<math>\sum \left(\frac{oa}{ma}\right)_{n-r}=0,</math>|4}}
отсюда сразу получается следующее:

''Если <math>m</math> — гармонический центр степени <math>r</math> данной системы точек относительно полюса <math>o</math>, то и наоборот, <math>o</math> — гармонический центр степени <math>n - r</math> той же системы точек относительно полюса <math>m</math>.''

{{§|13}} Пусть <math>m_1, \,m_2, \dots, m_r</math> — <math>r</math> точек, которые удовлетворяют уравнению ([[#eq3|3]]), и пусть <math>\mu</math> — их гармонический центр первой степени относительно того же полюса <math>o</math>. Тогда верно уравнение:
: <math>\sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om} \right)_1=0</math>,
аналогичное ([[#eq2|2]]), или же, после раскрытия скобок:
: <math>\frac{r}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{om}\right)_1</math>.
Но, в силу уравнения ([[#eq3|3]]), верно:
: <math>\sum \left(\frac{1}{om}\right)_1 =\frac{r}{n}\sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1</math>,
и поэтому
: <math>\frac{n}{o\mu} = \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1</math>,
или же
: <math> \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_1=0</math>.
Это означает, что <math>\mu</math> является гармоническим центром первой степени данной системы точек <math>a_1,\, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>.

Обозначив теперь как <math>\mu</math> один из двух гармонических центров второй степени системы <math>m_1, \, m_2, \dots, m_{r}</math> относительно полюса <math>o</math>, имеем уравнение, аналогичное уравнению ([[#eq2|2]]):
: <math> \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{om}\right)_2=0</math>,
или же, после раскрытия скобок,
: <math> \frac{r(r-1)}{2}  \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (r-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{om} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{om} \right)_2=0</math>,
Но, в силу уравнения ([[#eq3|3]]), имеем:
: <math> \sum \left(\frac{1}{om}\right)_1= \frac{r}{n} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_1, \quad \sum \left(\frac{1}{om}\right)_2= \frac{r(r-1)}{n(n-1)} \sum \left(\frac{1}{oa}\right)_2</math>,
подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получим:
: <math> \frac{n(n-1)}{2}  \left(\frac{1}{o\mu} \right)^2 - (n-1)\frac{1}{o\mu}\sum \left(\frac{1}{oa} \right)_1 + \sum \left(\frac{1}{oa} \right)_2=0</math>,
то есть
: <math> \sum \left(\frac{1}{o\mu} - \frac{1}{oa}\right)_2=0</math>;
следовательно, <math>\mu</math> является гармоническим центром второго порядка системы точек <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>.

Тот же результат получится, если рассмотреть <math>\mu</math> как центр третьей, четвертой, … <math>(r-1)</math>-ой степени системы <math>m_1,\, m_2, \dots, m_r</math> относительно полюса <math>o</math>. Следовательно:

''Если <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math> — гармонические центры степени <math>r</math> данной системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, гармонические центры степени <math>s</math> (<math>s<r</math>) системы <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math> относительно полюса <math>o</math> являются так же гармоническими центрами степени <math>s</math> данной системы относительно того же полюса <math>o</math>.''

{{§|14}} Пусть <math>m</math> — гармонический центр степени <math>n - 1</math> данной системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, тогда справедливо равенство ([[#eq4|4]]), если положить в нем <math>r=n - 1</math>. Введем туда произвольную точку <math>i</math> той же прямой, используя очевидные тождества <math>oa = oi + ia</math>, <math>ma = ia - im</math>, тогда получим:
: <math>\sum \left(\frac{oi +ia}{ia -im} \right)_1 =0</math>,
или же, после раскрытия скобок,
{{eq|
:<math>\overline{im}^{n-1} \left[n.oi + \sum (ia)_1 \right] - \overline{im}^{n-2} \left[(n-1).io\sum (ia)_1 + 2\sum (ia)_2 \right]+</math>

:<math>+\overline{im}^{n-3} \left[(n-2).oi\sum (ia)_2 + 3\sum (ia)_3 \right] -\dots</math>

:<math> + (-1)^{n-1} \left[oi\sum (ia)_{n-1} + n\sum (ia)_n  \right]=0</math>.|5}}
Пусть <math>m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1}</math> — гармонические центры степени <math>n - 1</math> данной системы относительно полюса <math>o</math>, то есть точки, удовлетворяющие уравнению ([[#eq5|5]]); тогда верно:
: <math>\sum (im)_r =\frac{(n-r)oi \sum (ia)_r + (r+1) \sum (ia)_{r+1}}{n.io + \sum (ia)_1}</math>.
Пусть теперь <math>\mu</math> — один из гармонических центров степени <math>n - 2</math> системы <math>m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1}</math> относительно точки <math>o'</math> той же прямой; в полной аналогии с ([[#eq5|5]]) имеем:
: <math>\overline{i\mu}^{n-2} \left[(n-1).o'i + \sum (im)_1 \right] - \overline{i\mu}^{n-3} \left[(n-2).o'i\sum (im)_1 + 2\sum (im)_2 \right]+\dots</math><br />

: <math> + (-1)^{n-2} \left[o'i\sum (im)_{n-2} + (n-1)\sum (im)_{n-1}  \right]=0</math>.

Подставляя в этом уравнение вместо <math>\sum (im)_r</math> выписанное выше значение, получим:
: <math>A.oi.o'i  + B.(oi+o'i) +C=0</math>,
где
: <math>A=n(n-1)\overline{i\mu}^{n-2} - (n-1)(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_1 + (n-2)(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_2 -\dots,</math>

: <math>B=(n-1)\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_1 - 2(n-2) \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_2 + 3(n-3) \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_3 -\dots,</math>

: <math>C=1.2\overline{i\mu}^{n-2}\sum (ia)_2 - 2.3 \overline{i\mu}^{n-3} \sum (ia)_3 + 3.4 \overline{i\mu}^{n-4} \sum (ia)_4 -\dots.</math>

Симметричность этого выражения относительно <math>o, \, o'</math> означает сдед.:

Если <math>m_1,\, m_2, \dots, m_{n-1}</math> — гармонические центры степени <math>n - 1</math> системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, и если <math>m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}'</math> — гармонические центры степени <math>n - 1</math> той же системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно другого полюса <math>o'</math>, то гармонические центры степени <math>n - 2</math> системы <math>m_1, \, m_2, \dots, m_{n-1}</math> относительно полюса <math>o'</math> совпадают с гармоническими центрами степени <math>n - 2</math> системы <math>m_1', \, m_2', \dots, m_{n-1}'</math> относительно полюса <math>o</math>.

Эта теорема, путем повторного применения, может быть распространена на гармонические центры произвольной степени, и, таким образом, может быть сформулирована так:

''Если <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math> — гармонические центры степени <math>r</math> данной системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, и если <math>m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}'</math> — гармонические центры степени <math>r'</math> той же системы относительно другого полюса <math>o'</math>, гармонические центры степени <math>r+ r'- n</math> системы <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math> относительно полюса <math>o'</math> совпадают с гармоническими центрами степени <math>r + r' - n</math> системы <math>m_1', \, m_2',\dots, m_{r'}'</math> относительно полюса <math>o</math>.''
<ref>Если обозначать гармонические центры системы <math>(a_1, \dots, a_n)</math> порядка <math>n-r</math> относительно <math>o</math> как <math>o^r(a_1, \dots, a_n)</math>, то согласно § 13 верно
: <math>o^so^r(a_1, \dots)=o^{s+r}(a_1, \dots)</math>,
то есть <math>o^r</math> можно рассматривать как степень оператора <math>o</math>. В § 14 доказывается коммутативность двух операторов <math>o</math> и <math>o'</math>, естественным следствием чего является
: <math>{o'}^{n-s}o^{n-r}(a_1, \dots)= o^{n-r}{o'}^{n-s}(a_1, \dots)</math>,
что и утверждается в конце § 14. — Перев.
</ref>

{{§|15}} Если <math>m</math> и <math>\mu</math> — гармонические центры первой степени систем <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> и <math>a_2, \, a_3, \dots, a_n</math> соответственно относительно полюса <math>o</math>, то верно:
: <math>\frac{n}{om} = \frac{1}{oa_1}+\frac{1}{oa_2} + \dots \frac{1}{oa_n},</math>
: <math>\frac{n-1}{o\mu}=\frac{1}{oa_2}+\frac{1}{oa_3} + \dots \frac{1}{oa_n}</math>.
Если <math>a_1</math> — гармонический центр первой степени системы точек <math>a_2, \, a_3, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, точка <math>a_1</math> является также гармоническим центром первой степени системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно того же полюса.

{{§|16}} До этого момента мы молчаливо предполагали, что данные точки <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> различны между собой. Предположим теперь, что <math>r</math> точек <math>a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-r+1}</math> совпали в одной единственной точке, которую мы обозначим как <math>a_0</math>.

Теперь, подставляя в уравнение ([[#eq5|5]]) <math>a_0</math> на место произвольного начала <math>i</math>, и учитывая очевидные в этом случае соотношения:
: <math>\sum (ia)_n=0, \quad \sum (ia)_{n-1}=0, \dots, \sum (ia)_{n-r+1}=0</math>,
видим, что уравнение ([[#eq5|5]]) делится нацело на <math> \overline{a_0m}^{r-1}</math>, то есть <math>r - 1</math> гармонических центров степени <math>n-1</math> попадают в точку <math>a_0</math>, и это верно, каким бы ни бы полюс <math>o</math>. Кроме того, из этого следует, в силу теоремы § [[#13|13]], что в точку <math>a_0</math> попадают <math>r - 2</math> гармонических центров степени <math>n - 2</math>, <math>r - 3</math> гармонических центров степени <math>n - 3,\dots </math> и один гармонический центр степени <math>n - r+1</math>.

{{§|17}} Уравнение ([[#eq3|3]]), после умножения на <math>\overline{om}^r</math> и на <math>(-1)^r oa_1.oa_2\dots oa_n</math>, примет вид:
{{eq|
:<math>\overline{om}^r \sum (oa)_{n-r} - (n-r+1) \overline{om}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1} +</math>

:<math> +\frac{(n-r+2)(n-r+1)}{2}\overline{om}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}+\dots</math>

:<math>+ (-1)^r\frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{1.2\dots r}\sum (oa)_{n}=0</math>.|6}}

Предположим теперь, что <math>s</math> точек, скажем <math>a_n, \, a_{n-1}, \dots, a_{n-s+1}</math>, совпадают с полюсом <math>o</math>. Тогда верно:
: <math>\sum (oa)_{n}=0, \quad \sum (oa)_{n-1}=0, \dots, \sum (oa)_{n-s+1}=0</math>;
следовательно, уравнение ([[#eq6|6]]) делится на <math>\overline{om}^s</math>, и значит, полюс <math>o</math> является местом <math>s</math> гармонических центров любого порядка. Оставшиеся <math>r - s</math> гармонических центров степени <math>r</math> описываются уравнением:
: <math>\overline{om}^{r-s} - (n-r+1) \overline{om}^{r-s-1} \sum (oa)_{n-r+1} + </math><math> \frac{(n-r+2)(n-r+1)}{1.2} \overline{om}^{r-s-2} \sum (oa)_{n-r+2}-\dots =0</math>,
где сума <math>\sum (oa)</math> распространяется только на точки <math>a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s}</math>. Следовательно, оставшиеся <math>r -s</math> точек <math>m</math>, которые наряду с точкой <math>o</math>, учитываемой <math>s</math> раз, являются гармоническими центрами степени <math>r</math> системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>, являются также и гармоническими центрами степени <math>r-s</math> системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_{n-s}</math> относительно того же полюса <math>o</math>.

Следует еще отметить, что при <math>s = r +1</math> последнее уравнение удовлетворяется тождественно, какова бы ни была точка <math>m</math>. Таким образом, если <math>r +1</math> точек <math>a</math> и полюс <math>o</math> совпадают друг с другом, гармонические центры степени <math>r</math> остаются неопределенными, то есть в качестве таковых можно взять любую точку на прямой <math>a_1, \, a_2, \dots, ...</math>

[[Файл:Cremona, Introduzione, fig. 05.svg|thumb|Рис. к § 18.]]
{{§|18}} Вернемся к § [[#11|11]] и рассмотрим на прямой <math>R</math> (см. рис.) систему <math>n</math> точек <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, ..., <math>a_n</math> и полюс <math>o</math>; пусть, кроме того, <math>m</math> — гармонический центр степени <math>r</math>, отчего между отрезками <math>ma</math> и <math>oa</math> имеется соотношение ([[#eq1|1]]). Возьмем произвольную точку <math>c</math> вне прямой <math>R</math> и соединим ее прямыми с точками <math>o</math>, <math> a</math>, <math> m</math>, пусть произвольная секущая <math>R'</math> пересекает эти прямые в точках <math>o'</math>, <math>a'</math>, <math> m'</math>. Тогда верно:
: <math>\frac{ma}{ca}:\frac{m'a'}{ca'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{cma}}</math>,
и аналогично,
: <math>\frac{oa}{ca}:\frac{o'a'}{ca'}=\frac{\sin{co'a'}}{\sin{coa}}</math>,
откуда получается, что
: <math>\frac{ma}{oa}:\frac{m'a'}{o'a'}=\frac{\sin{cm'a'}}{\sin{co'a'}}:\frac{\sin{cma}}{\sin{coa}}</math>.

Правая часть этого уравнения не изменяется при перестановки точек <math>a,\, a'</math>, поэтому верно:
: <math>\frac{ma_1}{oa_1}:\frac{ma_2}{oa_2}:\dots:\frac{ma_n}{oa_n} = \frac{m'a_1'}{o'a_1'}:\frac{m'a_2'}{o'a_2'}:\dots:\frac{m'a_n'}{o'a_n'}</math>.
Далее, поскольку соотношение ([[#eq1|1]]) однородно относительно всех этих величин <math>\tfrac{ma}{oa}</math>, здесь получается, что
: <math>\sum \left(\frac{m'a'}{o'a'}\right)_r=0</math>,
то есть:

Если <math>m</math> — гармонический центр степени <math>r</math> данной системы точек <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math>, лежащих на прямой, относительно полюса <math>o</math>, помещенного на ту же прямую, то, спроектировав все эти точки при помощи лучей, выходящих из произвольной точки, на произвольную секущую, получим точку <math>m'</math> (проекцию <math>m</math>), которая будет гармоническим центром степени <math>r</math> системы точек <math>a_1', \, a_2', \dots a_n'</math> (проекции <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math>) относительно полюса <math>o'</math> (проекции <math>o</math>).

Эта теорема дает нам возможность перенести на систему прямых, пересекающихся в одной точке, определения и теоремы, установленные выше для системы точек, лежащих на прямой.

{{§|19}} Пусть дана система <math>n</math> прямых <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> и еще одна прямая <math>O</math>, лежащие на одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <math>c</math>. Проведем произвольную секущую <math>R</math>, которая не проходит через точку <math>c</math>, и пусть она пересекает данные прямые в точках <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> и <math>o</math>, отметим <math>r</math> гармонических центров <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math> степени <math>r</math> системы точек <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math>. Прямые <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math>, проведенные из <math>c</math> в точки <math>m_1, \, m_2, \dots, m_r</math>, назовем ''{{Предмет|гармоническими осями}}'' степени <math>r</math> системы прямых <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> относительно прямой <math>O</math>.

Рассматривая ''только'' прямые, проходящие через точку <math>c</math>, можно установить следующие теоремы, аналогичные доказанным для системы точек на прямой.

Если <math>M</math> — гармоническая ось степени <math>r</math> данной системы прямых <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> относительно прямой <math>O</math>, то и наоборот, <math>O</math> — гармоническая ось степени <math>n-r</math> той же системы относительно прямой <math>M</math>.

Если <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math> — гармонические оси степени <math>r</math> данной системы <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> относительно прямой <math>O</math>, гармонические оси степени <math>s \, (s<r)</math> системы <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math> относительно <math>O</math> являются также гармоническими осями степени <math>s</math> данной системы относительно той же прямой <math>O</math>.

Если <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math> — гармонические оси степени <math>r</math> данной системы <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> относительно прямой <math>O</math> и если <math>M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}'</math> — гармонические оси степени <math>r'</math> той же данной системы относительно некоторой другой прямой <math>O'</math>, то гармонические оси степени <math>r+r'-n</math> системы <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math> относительно прямой <math>O'</math> совпадают с гармоническими осями степени <math>r+r' - n</math> системы <math>M_1', \, M_2', \dots, M_{r'}'</math> относительно прямой <math>O</math>.

Какой бы ни была прямая <math>O</math>, если <math>r</math> из данных прямых <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math> совпадают с некоторой прямой, то с этой последней совпадают <math>r - 1</math> гармонических осей степени <math>n - 1</math>, <math>r - 2</math> гармонических осей степени <math>n- 2 ,\dots </math> и одна гармоническая ось степени <math>n - r + 1</math>.

Если <math>s</math> прямых <math>A_n, \, A_{n-1}, \dots, A_{n-s+1}</math> совпадают друг с другом и с прямой <math>O</math>, с этой последней совпадают <math>s</math> гармонических осей любой степени, а оставшиеся <math>r - s</math> гармонические оси степени <math>r</math> являются также гармоническими осями степени <math>r - s</math> системы <math>A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s}</math> относительно <math>O</math>.

{{§|20|20}} Если бы в § [[#18|18]] секущая <math>R'</math> проходила через точку <math>o</math>, или если вращать прямую <math>R</math> вокруг точки <math>o</math>, то доказанная там теорема могла быть сформулирована так:

Пусть даны <math>n</math> прямых <math>A_1, \, A_2, \dots, A_n</math>, пересекающихся в точке <math>c</math>. Если через фиксированный полюс <math>o</math> провести произвольную секущую <math>R</math>, пересекающую эти <math>n</math> прямых в точках <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math>, то гармонические центры степени <math>r</math> системы <math>a_1, \, a_2, \dots, a_n</math> относительно полюса <math>o</math> описывают, при вращении <math>R</math> вокруг точки <math>o</math>, <math>r</math> прямых <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math>, пересекающихся в точке <math>c</math>.

При этом последние две теоремы § [[#19|19]] дают:

Если <math>s</math> из данных прямых, скажем <math>A_n, \, A_{n-1}, \dots A_{n-s+1}</math>, совпадают с одной единственной прямой <math>A_0</math>, с этой последней совпадает <math>s - (n - r)</math> прямых <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math>. Если к тому же <math>A_0</math> проходит через полюс <math>o</math>, то с ней совпадает <math>s</math> прямых <math>M_1, \, M_2, \dots, M_r</math>. Оставшиеся же <math>r - s</math> прямых пробегают [при вращении <math>R</math>] гармонические центры степени <math>r - s</math> (относительно полюса <math>o</math>) тех точек, в которых <math>R</math> пересекается с прямыми <math>A_1, \, A_2, \dots, A_{n-s}</math>.

== Примечания ==

{{примечания}}